Nos Problemas 15 a 19, são dadas as funções demanda e oferta, D(q) e S(q) para certo produto. Isso significa que q unidades do produto serão demandadas (vendidas) se o preço unitário for p=D(q) reais e q unidades serão oferecidas (fabricadas) se o preço unitário for p=S(q) reais. Em cada caso:
(a) Determine o preço de equilibrio p_{e} (para o qual a oferta é igual à demanda).
(b) Determine o excedente do consumidor e o excedente do produtor no equilibrio.
D(q)=\sqrt{245-2 q} ; S(q)=5+q

Passo 1

O enunciado dá a função demanda D(q)=\sqrt{245-2q} e a oferta S(q)=5+q. Queremos (a) o preço de equilíbrio p_e (quando quantidade demandada = quantidade oferecida) e (b) o excedente do consumidor (área sob a curva de demanda acima de p_e) e o excedente do produtor (área entre p_e e a curva de oferta).

Passo 2

Para achar o equilíbrio, igualamos
D(q)=S(q) \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{245-2q}=5+q.
Elevando ao quadrado,
245-2q=(5+q)^2=25+10q+q^2 \quad\Longrightarrow\quad q^2+12q-220=0.
A solução positiva é q_e=10. Então
p_e=S(10)=5+10=15.

Passo 3

O excedente do consumidor (EC) e do produtor (EP) em q_e são dados por
EC=\int_{0}^{10}D(q)\,dq - p_e\cdot10,
EP=p_e\cdot10 - \int_{0}^{10}S(q)\,dq.

Passo 4

Calculamos as integrais:
\int_{0}^{10}D(q)\,dq =\int_{0}^{10}\sqrt{245-2q}\,dq \quad(u=245-2q,\;du=-2\,dq) =\frac{1}{3}\Bigl[(245)^{3/2}-(225)^{3/2}\Bigr] =\frac{1}{3}\bigl(1715\sqrt5 - 3375\bigr),
\int_{0}^{10}S(q)\,dq =\int_{0}^{10}(5+q)\,dq =[5q+\tfrac{q^2}{2}]_{0}^{10} =50+50=100.

Passo 5

Agora os excedentes:
EC =\frac{1}{3}\bigl(1715\sqrt5 - 3375\bigr) - 15\cdot10 =\frac{1715\sqrt5 - 3825}{3} \approx3{,}29,
EP =15\cdot10 - 100 =150 - 100 =50.

Resposta

(a) p_e=15.\n(b) Excedente do consumidor EC=\frac{1715\sqrt{5} - 3825}{3}\approx 3,29,\nexcedente do produtor EP=50.

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