(Fatec-SP) Se a, b, c, d são números reais tais que raiz10800=2^a cdot 3^b cdot 5^c e raizd=2^c cdot 3^a cdot 5^b, então d é igual a:

Passo 1

O enunciado dá duas igualdades envolvendo raízes e potências de primos:
raiz10800 = 2^a cdot 3^b cdot 5^c
e
raizd = 2^c cdot 3^a cdot 5^b
O objetivo é determinar d. Para isso precisamos (1) fatorar 10800, (2) extrair a raiz quadrada e igualar expoentes para achar a, b e c, e em seguida (3) usar esses valores na expressão de raizd para obter d.

Passo 2

Vamos fatorar 10800 em primos. Note que
10800 = 108 times 100
e
108 = 2^2 times 3^3, 100 = 2^2 times 5^2
Logo
10800 = 2^4 times 3^3 times 5^2
Aplicando raiz quadrada em ambos os lados:
raiz10800 = raiz2^4 times 3^3 times 5^2 = 2^2 times 3^3/2 times 5^1

Passo 3

Pela igualdade
raiz10800 = 2^a cdot 3^b cdot 5^c,
comparamos os expoentes de cada primo:
a = 2, b = 32, c = 1

Passo 4

Agora usamos esses valores em
raizd = 2^c cdot 3^a cdot 5^b. Substituindo:
raizd = 2^1 times 3^2 times 5^3/2 = 2 times 9 times 5^1,5 = 18 times 5 times raiz5 = 90raiz5

Passo 5

Para encontrar d, elevamos ao quadrado:
d = l(raizdr)^2 = l(90raiz5r)^2 = 90^2 times 5 = 8100 times 5 = 40500

Resposta

40500

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