(CM Manaus-2010) Determine o valor da expressão \frac{x^{3}+3 x^{2} y+3 x y^{2}+y^{3}}{\left(z x^{2}+y^{2} z+2 x y z\right)\left(x^{2}-y^{2}\right)} para x= 2009, y=2010 e z=2011.
a) 2010
b) -2011
c) 1 / 2011
d) 2009
e) -1 / 2011

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão
\frac{x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}}{\bigl(zx^{2}+y^{2}z+2xyz\bigr)\,(x^{2}-y^{2})}
e pede seu valor para x=2009, y=2010 e z=2011.
O conteúdo aqui é fatoração de polinômios: o binômio ao cubo e a diferença de quadrados.

Passo 2

Reconhecemos o numerador como o desenvolvimento de (x+y)^{3}. Logo,
x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3} = (x+y)^{3}.

Passo 3

No denominador, o primeiro fator é
zx^{2} + zy^{2} + 2xyz = z\,(x^{2}+2xy+y^{2}) = z\,(x+y)^{2}.

Passo 4

O segundo fator do denominador é a diferença de quadrados:
x^{2}-y^{2} = (x+y)(x-y).
Portanto o denominador todo fica
z\,(x+y)^{2}\,(x+y)\,(x-y) = z\,(x+y)^{3}\,(x-y).
Assim a expressão se simplifica para
\frac{(x+y)^{3}}{z\,(x+y)^{3}\,(x-y)} = \frac{1}{z\,(x-y)}.

Passo 5

Substituindo x=2009, y=2010 e z=2011, temos
x-y = 2009 - 2010 = -1, \quad z\,(x-y) = 2011 \times (-1) = -2011,
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\frac{1}{z\,(x-y)} = \frac{1}{-2011} = -\frac{1}{2011}.

Resposta

- \tfrac{1}{2011} (alternativa e)

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