Se n \in \mathbb{N}, define-se sucessor de n por n^{*}=n+1. Prove que ( m, n \in \mathbb{N} sempre):
n+m^{*}=(n+m)^{*}.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para quaisquer m,n\in\mathbb{N}, vale
n + m^{*} \;=\;(n + m)^{*},
onde k^{*} denota o sucessor de k, isto é, k^{*}=k+1. Vamos usar a definição recursiva de adição em \mathbb{N}.

Passo 2

Pela definição recursiva de adição sobre o segundo parâmetro, temos:
n + 0 = n \quad\text{e}\quad n + k^{*} = (\,n + k\,)^{*}
para todo n,k\in\mathbb{N}.

Passo 3

Basta tomar k=m na cláusula recursiva. Assim,
n + m^{*} = (\,n + m\,)^{*},
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

A igualdade segue diretamente da definição recursiva de adição: n + m^{*}=(n + m)^{*}.

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