Se a, b in N, prove que mdc (a, a b+1)=mdc(b, a b+1)=1.
71. Prove que mdc (a+b c, b)=mdc(a, b), para quaisquer a, b, c in N.

Passo 1

O enunciado pede para provar duas propriedades de máximo divisor comum. Vamos usar a propriedade fundamental de que, para quaisquer inteiros x,y,k,
mdc(x,y)=mdc(x,y-kx),
além da simetria mdc(x,y)=mdc(y,x).

Passo 2

Para mdc(a,,ab+1), aplicamos a combinação linear com k=b:
mdc(a,,ab+1) =mdcl(a,,(ab+1)-bcdot ar) =mdc(a,,1) =1

Passo 3

De modo análogo, para mdc(b,,ab+1) usamos k=a:
mdc(b,,ab+1) =mdcl(b,,(ab+1)-acdot br) =mdc(b,,1) =1

Passo 4

Para mdc(a+bc,,b), subtraímos c vezes b do primeiro argumento:
mdc(a+bc,,b) =mdcl((a+bc)-ccdot b,;br) =mdc(a,,b)

Resposta

mdc(a,,ab+1)=1,
mdc(b,,ab+1)=1,
mdc(a+bc,,b)=mdc(a,,b)

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