Mostre que (111) bb mid(10101)b, para todo b>1. Escreva o quociente da divisão em termos da base b.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que (111)b divide (10101)b para todo b>1 e escrever o quociente em termos da base b. O truque é converter esses números em polinômios em b e usar divisão de polinômios.

Passo 2

Escrevemos
(111)b = b^2 + b + 1
e
(10101)b = b^4 + b^2 + 1

Passo 3

Dividindo o polinômio b^4 + b^2 + 1 por b^2 + b + 1, temos
b^4 + b^2 + 1b^2 + b + 1 = b^2 - b + 1,
pois
(b^2 - b + 1)(b^2 + b + 1) = b^4 + b^2 + 1

Passo 4

O quociente polinomial é b^2 - b + 1. Para expressar isso como um número em base b, note que
b^2 - b + 1 = (b-1),b + 1,
ou seja, o número de dois algarismos l((b-1)1r)b.

Resposta

(10101)b(111)b = l((b-1)1r)b

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