Seja n um número perfeito. Prove que sumd mid n 1d=2.
Nota: O somatório é estendido a todos os divisores de n (inclusive 1 e n) e a apenas estes números.
Resolução: Sejam d1, d2, ldots, dr os divisores de n. Então nd1, ldots, ndr também são os divisores (todos) de n. De fato, como n=ndi cdot di, entāo ndi divide n(i=1,2, ldots, r); por outro lado, se ndi=ndj, então di=dj. Logo:
sumd mid n nd=sumd mid n d=2 n
do que resulta
n sumd mid n 1d=2 n
e portanto
sumd mid n 1d=2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se n é um número perfeito — ou seja, satisfaz
sumdmid n d ;=;2n,
— então necessariamente
sumdmid n 1d ;=;2
Para isso, vamos usar a ideia de emparelhar cada divisor d de n com o divisor tfrac nd.

Passo 2

Sejam d1,d2,dots,dr todos os divisores de n. Como dimid n, também tfracndi divide n. Além disso, a aplicação
di;longmapsto;tfracndi
é bijetora: não há repetições porque, se tfracndi=tfracndj, então di=dj.

Passo 3

Da bijeção entre as listas di e tfracndi segue que
sumi=1^rndi ;=; sumi=1^rdi
Em notação de somatório sobre todos os divisores de n:
sumdmid nnd ;=; sumdmid nd

Passo 4

Pelo fato de n ser perfeito temos sumdmid nd=2n. Logo
sumdmid nnd ;=;2n
Mas
sumdmid nnd = nsumdmid n1d

Passo 5

Da igualdade
nsumdmid n1d = 2n
basta dividir ambos os lados por n (que é não-nulo) para obter
sumdmid n1d = 2

Resposta

sumdmid n1d = 2

Exercícios de Livros Relacionados