Seja n um número perfeito. Prove que
.
Nota: O somatório é estendido a todos os divisores de n (inclusive 1 e n) e a apenas estes números.
Resolução: Sejam
os divisores de n. Então
também são os divisores (todos) de
. De fato, como
, entāo
divide
; por outro lado, se
, então
. Logo:
do que resulta
e portanto
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é um número perfeito — ou seja, satisfaz
— então necessariamente
Para isso, vamos usar a ideia de emparelhar cada divisor
de
com o divisor
.
Passo 2
Sejam
todos os divisores de
. Como
, também
divide
. Além disso, a aplicação
é bijetora: não há repetições porque, se
, então
.
Passo 3
Da bijeção entre as listas
e
segue que
Em notação de somatório sobre todos os divisores de
:
Passo 4
Pelo fato de
ser perfeito temos
. Logo
Mas
Passo 5
Da igualdade
basta dividir ambos os lados por
(que é não-nulo) para obter