MONTANTE DE UM FLUXO DE RECEITA Depósitos são feitos continuamente em uma conta bancária à taxa constante
de R \ 2.400,00 por ano. A conta rende juros de6 %$ ao ano, capitalizados continuamente. Qual é o saldo da conta após 5 anos?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que há depósitos feitos continuamente na conta à taxa constante de R$ 2400 por ano e que a conta rende juros de 6\% ao ano, capitalizados continuamente. Queremos achar o saldo após 5 anos. O conteúdo aqui é valor futuro de um fluxo contínuo de depósitos sob capitalização contínua.

Passo 2

Em todo instante t (entre 0 e T) entra um montante infinitesimal de \,p\,dt, com p=2400. Cada uma dessas “pequenas parcelas” vai render juros até o tempo final T com fator de acumulação e^{r\,(T-t)}, onde r=0,06.
O saldo acumulado no tempo T é a soma (integral) de todas essas parcelas acumuladas, ou seja
S(T)=\int_{0}^{T}p\,e^{r\,(T-t)}\,dt.
Para facilitar, fazemos a troca de variável u=T-t, de modo que
S(T)=p\int_{0}^{T}e^{r\,u}\,du =p\,\frac{e^{rT}-1}{r}.

Passo 3

Agora basta substituir p=2400, r=0,06 e T=5:
S(5)=2400\;\frac{e^{0,06\cdot5}-1}{0,06} =2400\;\frac{e^{0,30}-1}{0,06}.

Passo 4

Calculando numericamente:
e^{0,30}\approx1,34986 \quad\Longrightarrow\quad \frac{e^{0,30}-1}{0,06}\approx5,83096 \quad\Longrightarrow\quad S(5)\approx2400\times5,83096\approx13994,31.

Resposta

O saldo da conta após 5 anos será aproximadamente R$ 13.994,31.

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