CAMPANHA BENEFICENTE Estima-se que daqui a t semanas as contribuições para uma campanha beneficente estarão chegando a uma taxa R^{\prime}(t)=5.000 e^{-0,2 t} reais por semana, enquanto as despesas com a campanha estão se acumulando à taxa constante de R$ 676,00 por semana.
a. Durante quanto tempo vale a pena prosseguir com a campanha?
b. Qual será a receita líquida gerada pela campanha durante o período calculado no item (a)?
c. Interprete o resultado do item (b) como a área entre duas curvas.

Passo 1

O enunciado fornece a taxa de contribuições da campanha
R'(t)=5000\,e^{-0.2t}
em reais por semana e diz que as despesas ocorrem à taxa constante de \text{R}\$\\\ 676,00 por semana. Pede:
– (a) até que instante t a campanha gera contribuições maiores que despesas;
– (b) a receita líquida acumulada nesse intervalo;
– (c) interpretar esse valor como área entre duas curvas.
Vamos primeiro achar o tempo em que as taxas se igualam (ponto em que parar de prosseguir).

Passo 2

Igualamos a taxa de contribuições à taxa de despesas para achar T:
5000\,e^{-0.2T} = 676.
Logo
e^{-0.2T} = \frac{676}{5000},
-0.2\,T = \ln\!\biggl(\frac{676}{5000}\biggr),
T = -\frac{1}{0.2}\,\ln\!\biggl(\frac{676}{5000}\biggr) = 5\,\ln\!\biggl(\frac{5000}{676}\biggr) \approx 10{,}0\text{ semanas}.

Passo 3

A receita líquida é a integral do excedente de contribuições sobre despesas de t=0 até t=T:
\text{Receita líquida} = \int_{0}^{T}\bigl(5000\,e^{-0.2t}-676\bigr)\,dt.í
Para resolver, separamos em duas integrais:
\int_{0}^{T}5000\,e^{-0.2t}\,dt = -\frac{5000}{0.2}\Bigl[e^{-0.2t}\Bigr]_{0}^{T} = 25000\bigl(1 - e^{-0.2T}\bigr),
\int_{0}^{T}676\,dt = 676\,T.
Portanto
N = 25000\bigl(1 - e^{-0.2T}\bigr) - 676\,T.

Passo 4

Usando e^{-0.2T}=\tfrac{676}{5000} e T=5\ln\!\tfrac{5000}{676}:
N = 25000\Bigl(1 - \tfrac{676}{5000}\Bigr) - 676\cdot 5\ln\!\bigl(\tfrac{5000}{676}\bigr) \approx 25000\cdot0,8648 - 3380\cdot2,00 \approx 21620 - 6760 \approx 14860\text{ reais}.

Passo 5

Geometricamente, N é a área entre a curva
y = 5000\,e^{-0.2t}
e a reta
y = 676
no intervalo 0\le t\le T, pois
\int_{0}^{T}\bigl(5000\,e^{-0.2t}-676\bigr)\,dt
mede exatamente essa região.

Resposta

a. T = 5\ln\!\bigl(\tfrac{5000}{676}\bigr)\approx 10{,}0 semanas.
b. Receita líquida N\approx R\$\,14\,860.
c. É a área entre a curva y=5000e^{-0.2t} e a reta y=676 de t=0 até t=T.

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