CAMPANHA BENEFICENTE Estima-se que daqui a
semanas as contribuições para uma campanha beneficente estarão chegando a uma taxa
reais por semana, enquanto as despesas com a campanha estão se acumulando à taxa constante de R$ 676,00 por semana.
a. Durante quanto tempo vale a pena prosseguir com a campanha?
b. Qual será a receita líquida gerada pela campanha durante o período calculado no item (a)?
c. Interprete o resultado do item (b) como a área entre duas curvas.
a. Durante quanto tempo vale a pena prosseguir com a campanha?
b. Qual será a receita líquida gerada pela campanha durante o período calculado no item (a)?
c. Interprete o resultado do item (b) como a área entre duas curvas.
Passo 1
O enunciado fornece a taxa de contribuições da campanha
em reais por semana e diz que as despesas ocorrem à taxa constante de
por semana. Pede:
– (a) até que instante a campanha gera contribuições maiores que despesas;
– (b) a receita líquida acumulada nesse intervalo;
– (c) interpretar esse valor como área entre duas curvas.
Vamos primeiro achar o tempo em que as taxas se igualam (ponto em que parar de prosseguir).
– (a) até que instante
– (b) a receita líquida acumulada nesse intervalo;
– (c) interpretar esse valor como área entre duas curvas.
Vamos primeiro achar o tempo em que as taxas se igualam (ponto em que parar de prosseguir).
Passo 2
Igualamos a taxa de contribuições à taxa de despesas para achar
:
Logo
Passo 3
A receita líquida é a integral do excedente de contribuições sobre despesas de
até
:
Para resolver, separamos em duas integrais:
Portanto
Passo 4
Usando
e
:
Passo 5
Geometricamente,
é a área entre a curva
e a reta
no intervalo
, pois
mede exatamente essa região.
Resposta
a.
semanas.
b. Receita líquida .
c. É a área entre a curva e a reta
de
até
.
b. Receita líquida
c. É a área entre a curva