Mostrar graficamente as partes do eixo x onde as seguintes desigualdades são satisfeitas:
(x-1)(x-2)(x-3)>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver graficamente a desigualdade polinomial de terceiro grau
(x-1)(x-2)(x-3)>0
ou seja, encontrar no eixo real os pontos em que o produto dos três fatores é positivo. Vamos usar o método de estudo de sinal: achar as raízes, dividir a reta em intervalos e testar o sinal em cada intervalo.

Passo 2

Identificamos as raízes do polinômio pelo aniquilamento de cada fator:
x-1=0implies x=1, x-2=0implies x=2, x-3=0implies x=3

Passo 3

As raízes são simples, então o sinal do produto muda ao passar por cada uma. Dividimos a reta em quatro intervalos:
(-infty,1),;(1,2),;(2,3),;(3,infty)
Para cada intervalo, escolhemos um ponto-teste e vemos se o produto é positivo ou negativo:
– Em x=0in(-infty,1):
(0-1)(0-2)(0-3)=(-1)(-2)(-3)=-6<0.
– Em x=1,5in(1,2):
(1,5-1)(1,5-2)(1,5-3)=(+0,5)(-0,5)(-1,5)>0.
– Em x=2,5in(2,3):
(2,5-1)(2,5-2)(2,5-3)=(+1,5)(+0,5)(-0,5)<0.
– Em x=4in(3,infty):
(4-1)(4-2)(4-3)=(+3)(+2)(+1)>0.

Passo 4

Concluímos que a desigualdade (x-1)(x-2)(x-3)>0 é satisfeita exatamente nos intervalos
(1,2)e(3,infty)

Resposta

Representação gráfica no eixo (círculos abertos em , partes sombreadas em e em ):
Eixo x:
o-----o >)
onde “ ” indica os trechos de solução , e “o” são círculos abertos.

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