Mostrar que todo inteiro da forma
, com
, é composto.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que todo inteiro da forma
, com
, não é primo, ou seja, que é composto. O conteúdo aqui é fatoração de soma de cubos, pois
. Vamos usar a identidade de soma de cubos:
Passo 2
Escrevemos
como soma de cubos, tomando
e
. Assim,
Passo 3
Aplicando a identidade de soma de cubos, obtemos:
Ou seja,
Passo 4
Para
, temos
e
Logo cada um dos dois fatores é maior que
, provando que
tem um divisor próprio e, portanto, é composto.
Resposta
Para todo
,
que são fatores ambos maiores que
. Portanto
é sempre composto.