Mostrar que todo inteiro da forma 8^n+1, com n >= 1, é composto.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que todo inteiro da forma 8^n + 1, com n>=1, não é primo, ou seja, que é composto. O conteúdo aqui é fatoração de soma de cubos, pois 8^n = (2^n)^3. Vamos usar a identidade de soma de cubos:
a^3 + b^3 = (a+b),(a^2 - a b + b^2)

Passo 2

Escrevemos 8^n + 1 como soma de cubos, tomando a = 2^n e b = 1. Assim,
8^n + 1 = (2^n)^3 + 1^3

Passo 3

Aplicando a identidade de soma de cubos, obtemos:
(2^n)^3 + 1^3 = l(2^n + 1r),l((2^n)^2 - 2^ncdot1 + 1^2r)
Ou seja,
8^n + 1 = (2^n + 1),l(2^2n - 2^n + 1r)

Passo 4

Para n>=1, temos 2^n + 1 >= 3 e
2^2n - 2^n + 1 = 2^n(2^n - 1) + 1 >= 2cdot1 + 1 = 3
Logo cada um dos dois fatores é maior que 1, provando que 8^n+1 tem um divisor próprio e, portanto, é composto.

Resposta

Para todo n>=1,
8^n + 1 = (2^n + 1),(2^2n - 2^n + 1),
que são fatores ambos maiores que 1. Portanto 8^n+1 é sempre composto.

Exercícios de Livros Relacionados