(Fuvest-84) Sejam m=2^6 cdot 3^3 cdot 5^2, n=2^r cdot 3^3 cdot 5^prime e p=2^5 cdot 5^4.
a) Quantos divisores de m são múltiplos de 100?
b) Escreva as condições que devem satisfazer r, s e t para que n seja divisor comum de me p.

Passo 1

O enunciado fornece as factorações
m = 2^6cdot3^3cdot5^2, n = 2^rcdot3^scdot5^t, p = 2^5cdot5^4
e pede:
a) o número de divisores de m que são múltiplos de 100;
b) as condições sobre r,s,t para que n seja divisor comum de m e p.

Passo 2

Um divisor genérico de m tem a forma
d = 2^acdot3^bcdot5^c,
com 0<= a<=6, 0<= b<=3, 0<= c<=2.
Para que d seja múltiplo de 100, precisa conter pelo menos 2^2 e 5^2, isto é,
a>=2, c>=2

Passo 3

Contamos as escolhas possíveis:
– Para a temos ain2,3,4,5,6, logo 5 valores;
– Para b qualquer bin0,1,2,3, logo 4 valores;
– Para c só cabe c=2, logo 1 valor.
O total é 5times4times1=20.

Passo 4

Para n=2^r3^s5^t ser divisor de m e de p devem valer simultaneamente:
nmid m implica
0<= r<=6, 0<= s<=3, 0<= t<=2
nmid p implica
0<= r<=5, 0<= s<=0, 0<= t<=4

Passo 5

Interseccionando as restrições obtemos
0<= r<=5, s=0, 0<= t<=2

Resposta

(a) 20
(b) 0<= r<=5,;s=0,;0<= t<=2

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