(a) Mostre que, para 0<\alpha \leq \pi / 2,
\int_{0}^{\alpha} \sqrt{1+\cos ^{2} \theta} d \theta>\sqrt{\alpha^{2}+\operatorname{sen}^{2} \alpha}
(b) Generalize o resultado da parte (a).

Passo 1

O enunciado nos pede que mostremos que, para 0<\alpha\le\pi/2,
\int_{0}^{\alpha}\sqrt{1+\cos^{2}\theta}\,d\theta>\sqrt{\alpha^{2}+\sin^{2}\alpha}.
O conteúdo é comprimento de arco de curva e a comparação entre esse comprimento e a distância reta entre os extremos da curva.

Passo 2

Considere a curva C dada pelo gráfico de y=\sin\theta, para \theta variando de 0 a \alpha. A fórmula do comprimento de arco de uma curva y=f(x) em [a,b] é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Aqui f(\theta)=\sin\theta e f'(\theta)=\cos\theta, logo
L=\int_{0}^{\alpha}\sqrt{1+\cos^{2}\theta}\,d\theta,
que é precisamente a integral do enunciado.

Passo 3

Uma propriedade básica de curvas no plano é que o comprimento de qualquer caminho que liga dois pontos é sempre maior ou igual à distância em linha reta entre esses pontos. No nosso caso, os extremos da curva são (0,\sin0)=(0,0) e \bigl(\alpha,\sin\alpha\bigr). A distância euclidiana entre eles é
\sqrt{\bigl(\alpha-0\bigr)^{2}+\bigl(\sin\alpha-0\bigr)^{2}} =\sqrt{\alpha^{2}+\sin^{2}\alpha}.
Logo
\int_{0}^{\alpha}\sqrt{1+\cos^{2}\theta}\,d\theta =L>\sqrt{\alpha^{2}+\sin^{2}\alpha},
o que prova a parte (a).

Passo 4

Para generalizar, basta notar que o mesmo argumento vale para qualquer função f\in C^1([a,b]): o comprimento do gráfico de f em [a,b] é
\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx
e isso sempre excede (ou no mínimo iguala) a distância em linha reta entre \bigl(a,f(a)\bigr) e \bigl(b,f(b)\bigr), que é
\sqrt{(b-a)^{2}+\bigl(f(b)-f(a)\bigr)^{2}}.

Resposta

(a) A desigualdade segue porque a integral é o comprimento de arco do gráfico de y=\sin\theta de 0 a \alpha, e esse comprimento é maior que a distância reta entre (0,0) e (\alpha,\sin\alpha).
(b) Em geral, para toda função f\in C^1([a,b]) vale
\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx\;\ge\;\sqrt{(b-a)^{2}+\bigl(f(b)-f(a)\bigr)^{2}}.

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