(a) Mostre que, para
,
(b) Generalize o resultado da parte (a).
Passo 1
O enunciado nos pede que mostremos que, para
,
O conteúdo é comprimento de arco de curva e a comparação entre esse comprimento e a distância reta entre os extremos da curva.
Passo 2
Considere a curva
dada pelo gráfico de
, para
variando de
a
. A fórmula do comprimento de arco de uma curva
em
é
Aqui
e
, logo
que é precisamente a integral do enunciado.
Passo 3
Uma propriedade básica de curvas no plano é que o comprimento de qualquer caminho que liga dois pontos é sempre maior ou igual à distância em linha reta entre esses pontos. No nosso caso, os extremos da curva são
e
. A distância euclidiana entre eles é
Logo
o que prova a parte (a).
Passo 4
Para generalizar, basta notar que o mesmo argumento vale para qualquer função
: o comprimento do gráfico de
em
é
e isso sempre excede (ou no mínimo iguala) a distância em linha reta entre
e
, que é
Resposta
(a) A desigualdade segue porque a integral é o comprimento de arco do gráfico de
de
a
, e esse comprimento é maior que a distância reta entre
e
.
(b) Em geral, para toda função vale
(b) Em geral, para toda função