Mostre que cada uma das proposições condicionais a seguir é uma tautologia, usando a tabela-verdade.
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a fórmula
é uma tautologia, ou seja, que ela vale verdadeiro para todas as possíveis atribuições de verdade de
e
. Vamos usar a definição de implicação:
– é falsa só quando
é verdadeira e
é falsa;
– nos demais casos, é verdadeira.
–
– nos demais casos,
Passo 2
Montamos a tabela-verdade com as colunas principais:
p q | ¬p | p→q | ¬p→(p→q)
T T | F | T | T
T F | F | F | T
F T | T | T | T
F F | T | T | T
T T | F | T | T
T F | F | F | T
F T | T | T | T
F F | T | T | T
Como referência:
– Segunda coluna é simplesmente a negação de .
– Terceira coluna usa que é F só quando
e
.
– Quarta coluna usa que só é F quando
e
, mas isso nunca ocorre simultaneamente nas linhas acima.
– Segunda coluna é simplesmente a negação de
– Terceira coluna usa que
– Quarta coluna usa que
Passo 3
Vemos que a coluna final
é sempre verdadeira (T) para todas as quatro combinações de
e
. Logo, a fórmula é verdade em toda valuation.
Resposta
A proposição
é uma tautologia.