Mostre que cada uma das proposições condicionais a seguir é uma tautologia, usando a tabela-verdade.
c) \neg p \rightarrow(p \rightarrow q)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a fórmula
\neg p \rightarrow \bigl(p \rightarrow q\bigr)
é uma tautologia, ou seja, que ela vale verdadeiro para todas as possíveis atribuições de verdade de p e q. Vamos usar a definição de implicação:
\,A\rightarrow B é falsa só quando A é verdadeira e B é falsa;
– nos demais casos, A\rightarrow B é verdadeira.

Passo 2

Montamos a tabela-verdade com as colunas principais: p,\;q,\;\neg p,\;p\rightarrow q,\;\neg p\rightarrow(p\rightarrow q) p q | ¬p | p→q | ¬p→(p→q)
T T | F | T | T
T F | F | F | T
F T | T | T | T
F F | T | T | T
Como referência:
– Segunda coluna é simplesmente a negação de p.
– Terceira coluna usa que p\rightarrow q é F só quando p=T e q=F.
– Quarta coluna usa que \neg p\rightarrow(p\rightarrow q) só é F quando \neg p=T e (p\rightarrow q)=F, mas isso nunca ocorre simultaneamente nas linhas acima.

Passo 3

Vemos que a coluna final \neg p\rightarrow(p\rightarrow q) é sempre verdadeira (T) para todas as quatro combinações de p e q. Logo, a fórmula é verdade em toda valuation.

Resposta

A proposição \neg p \rightarrow (p \rightarrow q) é uma tautologia.

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