Mostre que
é função periódica com período
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a função
é periódica de período
. Para isso, vamos usar o conceito de função periódica e as identidades trigonométricas de soma
.
Passo 2
Lembrando que uma função
é periódica de período
se, para todo
no domínio de
,
Queremos, portanto, verificar que
para todo
em que ambas as expressões estejam definidas.
Passo 3
Pela definição,
Agora usamos as identidades conhecidas:
Passo 4
Substituindo essas identidades,
Isso vale para todo
tal que
(ou seja, dentro do domínio de
).
Passo 5
Como mostramos que
para todo
em que a função está definida, concluímos que
é um período de
. É fácil ver ainda que não existe período positivo menor que
, de modo que
é o menor período (período fundamental).
Resposta
A função
é periódica de período
.