Mostre que cot x é função periódica com período pi.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função cot x é periódica de período pi. Para isso, vamos usar o conceito de função periódica e as identidades trigonométricas de soma x+pi.

Passo 2

Lembrando que uma função f é periódica de período T se, para todo x no domínio de f,
f(x+T)=f(x)
Queremos, portanto, verificar que
cot(x+pi)=cot x
para todo x em que ambas as expressões estejam definidas.

Passo 3

Pela definição,
cot(x+pi)=cos(x+pi)sin(x+pi)
Agora usamos as identidades conhecidas:
cos(x+pi)=-cos x, sin(x+pi)=-sin x

Passo 4

Substituindo essas identidades,
cot(x+pi) =cos(x+pi)sin(x+pi) =-cos x-sin x =cos xsin x =cot x
Isso vale para todo x tal que sin xneq0 (ou seja, dentro do domínio de cot).

Passo 5

Como mostramos que cot(x+pi)=cot x para todo x em que a função está definida, concluímos que pi é um período de cot x. É fácil ver ainda que não existe período positivo menor que pi, de modo que pi é o menor período (período fundamental).

Resposta

A função cot x é periódica de período pi.

Exercícios de Livros Relacionados