Mostre que
sempre que
for um número inteiro positivo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro positivo
, vale
Para isso vamos usar decomposição em frações parciais e o princípio de série telescópica.
Passo 2
Tomemos o termo genérico
e escrevamos em frações parciais: procuramos constantes
e
tais que
Isso implica
Passo 3
Comparando coeficientes de
e termo constante em
devemos ter
Da primeira vem
e então
, logo
Passo 4
Substituindo de volta, cada termo vira
Assim a soma parcial fica
Passo 5
Escrevendo os primeiros termos nota-se o cancelamento telescópico:
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