Mostre que
\frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 7}+\ldots+\frac{1}{(3 n-2)(3 n+1)}=\frac{n}{3 n+1}
sempre que n for um número inteiro positivo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro positivo n, vale
S(n)=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}=\frac{n}{3n+1}.
Para isso vamos usar decomposição em frações parciais e o princípio de série telescópica.

Passo 2

Tomemos o termo genérico
\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}
e escrevamos em frações parciais: procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}=\frac{A}{3k-2}+\frac{B}{3k+1}.
Isso implica
1 = A(3k+1) + B(3k-2).

Passo 3

Comparando coeficientes de k e termo constante em
A(3k+1)+B(3k-2)=3(A+B)k + (A-2B),
devemos ter
A+B=0,\quad A-2B=1.
Da primeira vem B=-A e então A-2(-A)=3A=1, logo
A=\frac{1}{3},\quad B=-\frac{1}{3}.

Passo 4

Substituindo de volta, cada termo vira
\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} =\frac{1}{3}\Bigl(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}\Bigr).
Assim a soma parcial fica
S(n) =\sum_{k=1}^n\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} =\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n\Bigl(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}\Bigr).

Passo 5

Escrevendo os primeiros termos nota-se o cancelamento telescópico:
\frac{1}{1}-\frac{1}{4} +\frac{1}{4}-\frac{1}{7} +\cdots +\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1} =\;1-\frac{1}{3n+1}.
Logo
S(n) =\frac{1}{3}\Bigl(1-\frac{1}{3n+1}\Bigr) =\frac{1}{3}\,\frac{3n}{3n+1} =\frac{n}{3n+1}.

Resposta

\frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 7}+\cdots+\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} =\frac{n}{3n+1}.

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