Mostre que a função logística L=L(t) satisfaz à equação:
d Ld t=C L(1-LA)
Se L=L(t) representa o crescimento populacional, quando a população se estabiliza?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se
L(t)=A1 + B e^-C t,
então sua derivada satisfaz a equação
dLdt=C,Ll(1-LAr)
Aqui vamos usar derivação de quociente (ou a regra da cadeia) e depois reescrever o resultado em função de L.

Passo 2

Calculemos dLdt. Seja
D(t)=1 + B e^-C t,
então L(t)=A,D^-1(t). Usando a regra da cadeia:
dLdt = Acdot(-1),D^-2(t),dDdt = -A,D^-2(t),l(-C,B e^-C tr) = A,C,B e^-C t,D^-2(t)

Passo 3

Agora observamos que
B e^-C t=D(t)-1 e L(t)=AD(t)
Logo,
dLdt = A,C,(D-1),D^-2 = C;AD;D-1D = C,L,l(1-1Dr) = C,L,l(1-LAr)
Isto prova a fórmula desejada.

Passo 4

Para saber quando a população se estabiliza, basta resolver
dLdt=0 ;Longrightarrow; C,Ll(1-LAr)=0 ;Longrightarrow; L=0ou L=A
Desprezando a solução trivial L=0, concluímos que a população tende a estabilizar em

Resposta

L=A

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