Calcule y^prime prime(x) se:
x^2 y^2=(y+1)^2(y-y^2)

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x^2y^2=(y+1)^2,(y-y^2)
e pede a segunda derivada y''(x). Vamos usar diferenciação implícita para achar primeiro y'=dydx e depois aplicar a regra do quociente para obter y''.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, lembrando que y=y(x), obtemos:
ddxl(x^2y^2r) =ddxl((y+1)^2(y-y^2)r)
No lado esquerdo, por produto,
ddx(x^2y^2)=2x,y^2 + x^2cdot 2y,y' =2x,y^2 +2x^2y,y'
No lado direito, chamando f=(y+1)^2 e g=y-y^2,
ddx(f,g)=f',g+f,g' =2(y+1)y',(y-y^2)+(y+1)^2,(y'-2yy')
Assim
2x,y^2 +2x^2y,y' =y'l[2(y+1)(y-y^2)+(y+1)^2(1-2y)r]

Passo 3

Defina o coeficiente
A=2(y+1)(y-y^2)+(y+1)^2(1-2y)
Então a equação fica
2x,y^2 +2x^2y,y' = A,y' Longrightarrow y'l(2x^2y -Ar)=-2x,y^2
e
y'=-2x,y^2,2x^2y -A, =2x,y^2,A-2x^2y,
Note que, ao expandir,
A-2x^2y=(y+1)(1+y-4y^2)-2x^2y
Para abreviar, chamemos
D=(y+1)(1+y-4y^2)-2x^2y,
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y'=2x,y^2D

Passo 4

Para obter y'' aplicamos a regra do quociente a
y'=ND, N=2x,y^2, D=(y+1)(1+y-4y^2)-2x^2y
Calculamos
N'=2y^2+4x,y,y', D'= ddxl[(y+1)(1+y-4y^2)r]-4x,y-2x^2y'
Expandindo o primeiro termo de D':
ddx[(y+1)(1+y-4y^2)] =y'l(2-6y-12y^2r),
portanto
D'=y'l(2-6y-12y^2r)-4x,y-2x^2,y'

Passo 5

Aplicando a regra do quociente
y'' =N',D -N,D'D^2 =l(2y^2+4xy,y'r)D -2x,y^2l[y'(2-6y-12y^2)-4xyr]D^2,
em que
y'=2x,y^2D, D=(y+1)(1+y-4y^2)-2x^2y

Resposta

boxedy''(x) =l(2y^2+4x,y,y'r)D -2x,y^2l[y'(2-6y-12y^2)-4x,yr]D^2 com y'=2x,y^2D e D=(y+1)(1+y-4y^2)-2x^2y

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