Determine os pontos da curva
onde as retas tangentes passando por esses pontos intersectam a origem.
Passo 1
O enunciado pede os pontos da curva
onde a reta tangente, no ponto
, passa pela origem
. Vamos usar derivada para achar a equação da tangente e impor que ela contenha
.
Passo 2
Calcular a derivada da função para obter o coeficiente angular da tangente:
Passo 3
A reta tangente em
é
Para que essa reta passe por
, basta substituir
e exigir
Passo 4
Substituindo
e
:
Reorganizando:
Passo 5
Resolver o polinômio
Testando raízes racionais,
anula o polinômio. Fazendo divisão sintética:
A equação
simplifica para
Logo as soluções são
Passo 6
Calcular
em cada caso:
- Para
: - Para
: - Para
:
Resposta
Os pontos são