Determine os pontos da curva y=3 x^3+14 x^2+3 x+8 onde as retas tangentes passando por esses pontos intersectam a origem.

Passo 1

O enunciado pede os pontos da curva
y = 3x^3 + 14x^2 + 3x + 8
onde a reta tangente, no ponto (x0,y0), passa pela origem (0,0). Vamos usar derivada para achar a equação da tangente e impor que ela contenha (0,0).

Passo 2

Calcular a derivada da função para obter o coeficiente angular da tangente:
f(x) = 3x^3 + 14x^2 + 3x + 8 Longrightarrow f'(x) = 9x^2 + 28x + 3

Passo 3

A reta tangente em x0 é
y - f(x0) = f'(x0),(x - x0)
Para que essa reta passe por (0,0), basta substituir (x,y)=(0,0) e exigir
0 - f(x0) = f'(x0),(0 - x0) Longrightarrow f(x0) = x0,f'(x0)

Passo 4

Substituindo f(x0) e f'(x0):
3x0^3 + 14x0^2 + 3x0 + 8 = x0,(9x0^2 + 28x0 + 3) =9x0^3 + 28x0^2 + 3x0
Reorganizando:
3x0^3 +14x0^2 +3x0 +8 - (9x0^3 +28x0^2 +3x0) = 0 ;Longrightarrow; -6x0^3 -14x0^2 +8 = 0 ;Longrightarrow; 3x0^3 +7x0^2 -4 = 0

Passo 5

Resolver o polinômio
3x^3 +7x^2 -4 = 0
Testando raízes racionais, x = tfrac23 anula o polinômio. Fazendo divisão sintética:
3x^3 +7x^2 +0x -4 = (x-tfrac23),(3x^2+9x+6)
A equação 3x^2+9x+6=0 simplifica para
x^2+3x+2=0 ;Longrightarrow; x=-1,;-2
Logo as soluções são
x0 in l-2,,-1,;tfrac23r

Passo 6

Calcular y0 = f(x0) em cada caso:
  • Para x0=-2: y0 = 3(-2)^3 +14(-2)^2 +3(-2)+8 = -24 +56 -6 +8 = 34
  • Para x0=-1: y0 = 3(-1)^3 +14(-1)^2 +3(-1)+8 = -3 +14 -3 +8 = 16
  • Para x0=tfrac23: y0 = 3l(tfrac23r)^3 +14l(tfrac23r)^2 +3l(tfrac23r) +8 = tfrac89 + tfrac569 +2 +8 = tfrac649 +10 = tfrac1549

Resposta

Os pontos são
(-2,,34),(-1,,16),l(tfrac23,,tfrac1549r)

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