Mostre que:
lll 1 & cos 2 a & sen a 1 & cos 2 b & sen b 1 & cos 2 c & sen c

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o determinante da matriz
1 & cos2a & sin a 1 & cos2b & sin b 1 & cos2c & sin c
é igual a
2,(sin b - sin c),(sin c - sin a),(sin a - sin b)
Vamos usar operações em linhas, identidade trigonométrica para cos2x e fatoração de diferenças de quadrados para chegar ao produto desejado.

Passo 2

Subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira para criar zeros na primeira coluna:
R2 R2-R1, R3 R3-R1
O determinante vira
1 & cos2a & sin a 0 & cos2b-cos2a & sin b-sin a 0 & cos2c-cos2a & sin c-sin a
Expandindo pela primeira coluna, obtemos
D=(cos2b-cos2a)(sin c-sin a);-;(cos2c-cos2a)(sin b-sin a)

Passo 3

Usamos a identidade
cos2x = 1 - 2sin^2x
para escrever
cos2b - cos2a = -2l(sin^2b - sin^2ar) =-2(sin b-sin a)(sin b+sin a),
e
cos2c - cos2a = -2(sin c-sin a)(sin c+sin a)
Substituindo em D
D=-2(sin b-sin a)(sin b+sin a)(sin c-sin a) +2(sin c-sin a)(sin c+sin a)(sin b-sin a)

Passo 4

Fatoramos (sin b-sin a)(sin c-sin a) em comum:
D=2(sin b-sin a)(sin c-sin a)l[(sin c+sin a)-(sin b+sin a)r]
No colchete simplifica:
(sin c+sin a)-(sin b+sin a)=sin c-sin b
Logo
D=2(sin b-sin a)(sin c-sin a)(sin c-sin b)

Passo 5

Basta observar que
sin b-sin a = -(sin a-sin b), sin c-sin b = -(sin b-sin c),
então
(sin b-sin a)(sin c-sin b) =(-1)^2(sin a-sin b)(sin b-sin c) =(sin a-sin b)(sin b-sin c)
Assim
D=2(sin a-sin b)(sin b-sin c)(sin c-sin a),
que, reordenando os fatores, é exatamente
2,(sin b - sin c),(sin c - sin a),(sin a - sin b)

Resposta

1 & cos2a & sin a 1 & cos2b & sin b 1 & cos2c & sin c =2,(sin b - sin c),(sin c - sin a),(sin a - sin b)

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