Sem desenvolver, prove que:
|lllz y & x & 1 x z & y & 1 x y & z & 1|=|lll1 & x^2 & x 1 & y^2 & y 1 & z^2 & z|.

Passo 1

Vamos chamar de
D1(x,y,z) = zy & x & 1 xz & y & 1 xy & z & 1 e D2(x,y,z) = 1 & x^2 & x 1 & y^2 & y 1 & z^2 & z
Queremos provar sem expandir que D1(x,y,z)=D2(x,y,z). Para isso, usaremos o fato de que cada determinante é um polinômio anti-simétrico em x,y,z de grau total 3, logo cada um é múltiplo do polinômio de Vandermonde
V(x,y,z)=(x-y)(x-z)(y-z)

Passo 2

Ao trocar x com y na matriz de D1 permutam-se duas linhas, mudando o sinal do determinante; o mesmo ocorre em D2. Logo ambos são divisíveis por (x-y), e analogamente por (x-z) e por (y-z). Como cada entrada das matrizes tem grau total no máximo 2 e o determinante de uma matriz 3times3 soma os graus de cada linha, cada Di é um polinômio de grau total 1+1+1=3. Assim existem constantes c1,c2 tais que
Di(x,y,z)=ci,(x-y)(x-z)(y-z)(i=1,2)

Passo 3

Basta então determinar c1 e c2 em um ponto. Tomemos (x,y,z)=(0,1,2). Primeiro
D1(0,1,2) = 2cdot1 & 0 & 1 0cdot2 & 1 & 1 0cdot1 & 2 & 1 = 2 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 =2,(1cdot1-1cdot2) =2(-1)=-2
Em seguida
D2(0,1,2) = 1 & 0^2 & 0 1 & 1^2 & 1 1 & 2^2 & 2 = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 1 & 4 & 2 =1,(1cdot2-1cdot4) =-2
Como
V(0,1,2)=(0-1)(0-2)(1-2)=-2,
temos c1=c2=-2/(-2)=1. Logo
D1(x,y,z)=V(x,y,z)=D2(x,y,z),
o que prova a igualdade desejada.

Resposta

zy & x & 1 xz & y & 1 xy & z & 1 = 1 & x^2 & x 1 & y^2 & y 1 & z^2 & z

Exercícios de Livros Relacionados