D1(x,y,z) = zy & x & 1 xz & y & 1 xy & z & 1 e D2(x,y,z) = 1 & x^2 & x 1 & y^2 & y 1 & z^2 & z
Queremos provar sem expandir que D1(x,y,z)=D2(x,y,z). Para isso, usaremos o fato de que cada determinante é um polinômio anti-simétrico em x,y,z de grau total 3, logo cada um é múltiplo do polinômio de Vandermonde
V(x,y,z)=(x-y)(x-z)(y-z)
Passo 2
Ao trocar x com y na matriz de D1 permutam-se duas linhas, mudando o sinal do determinante; o mesmo ocorre em D2. Logo ambos são divisíveis por (x-y), e analogamente por (x-z) e por (y-z). Como cada entrada das matrizes tem grau total no máximo 2 e o determinante de uma matriz 3times3 soma os graus de cada linha, cada Di é um polinômio de grau total 1+1+1=3. Assim existem constantes c1,c2 tais que
Di(x,y,z)=ci,(x-y)(x-z)(y-z)(i=1,2)
Passo 3
Basta então determinar c1 e c2 em um ponto. Tomemos (x,y,z)=(0,1,2). Primeiro
zy & x & 1 xz & y & 1 xy & z & 1 = 1 & x^2 & x 1 & y^2 & y 1 & z^2 & z
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 286