Mostre que p \leftrightarrow q e \neg p \leftrightarrow \neg q são logicamente equivalentes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as fórmulas \,p \leftrightarrow q e \neg p \leftrightarrow \neg q são logicamente equivalentes, ou seja, têm tabelas-verdade idênticas. Vamos usar a definição de bicondicional e equivalências básicas de lógica proposicional.

Passo 2

Lembrando que p \leftrightarrow q é definido como
(p \land q)\;\lor\;(\neg p \land \neg q).
Portanto podemos reescrever
p \leftrightarrow q \;=\; (p \land q)\;\lor\;(\neg p \land \neg q).

Passo 3

Agora analisamos \neg p \leftrightarrow \neg q. Pela mesma definição,
\neg p \leftrightarrow \neg q \;=\; (\neg p \land \neg q)\;\lor\;(\neg(\neg p)\land \neg(\neg q)).
Mas \neg(\neg p)=p e \neg(\neg q)=q, logo
\neg p \leftrightarrow \neg q \;=\; (\neg p \land \neg q)\;\lor\;(p \land q).

Passo 4

Comparando as duas expressões obtidas:
p \leftrightarrow q \;=\; (p \land q)\;\lor\;(\neg p \land \neg q),
\neg p \leftrightarrow \neg q \;=\; (\neg p \land \neg q)\;\lor\;(p \land q),
vemos que são exatamente a mesma fórmula, já que a ordem dos termos em uma disjunção não altera o valor lógico.

Resposta

As fórmulas \,p \leftrightarrow q e \neg p \leftrightarrow \neg q são logicamente equivalentes porque ambas se reduzem à mesma forma normal disjuntiva (p \land q)\lor(\neg p \land \neg q).

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