18.8 Mostre que se log a u=log a v, então, u=v.
Como a função exponencial f(x)=a^x é injetora, sua função inversa, f^-1(x)=log a x, é também injetora e (f^circ f^-1)(x)= f(f^-1(x))=f(log a x)=a^log a x=x.
Logo, se log a u=log a v, então a^log a u=a^log a v e u=v.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a>0 com aneq1 e u>0, v>0, se
logau = logav
então
u = v
O conteúdo é a injetividade da função exponencial f(x)=a^x e da sua inversa logax.

Passo 2

Lembramos que uma função é injetora quando valores distintos de entrada dão saídas distintas. Sabemos que, para a>0, aneq1, a função
f(x) = a^x
é injetora: se a^x1 = a^x2 então x1=x2.

Passo 3

Como logax é a função inversa de f(x)=a^x, ela também é injetora. Em particular vale
(fcirc f^-1)(x)=fl(logaxr)=a^logax=x

Passo 4

Partindo de
logau = logav,
aplicamos f (isto é, elevamos a a essa potência) em ambos os lados e usamos a propriedade da inversa:
a^logau = a^logav

Passo 5

Mas a^logau=u e a^logav=v. Logo da igualdade anterior segue
u = v

Resposta

u = v

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