18.8 Mostre que se
, então,
.
Como a função exponencial
é injetora, sua função inversa,
, é também injetora e
.
Logo, se
, então
e
.
Logo, se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para
com
e
,
, se
então
O conteúdo é a injetividade da função exponencial
e da sua inversa
.
Passo 2
Lembramos que uma função é injetora quando valores distintos de entrada dão saídas distintas. Sabemos que, para
,
, a função
é injetora: se
então
.
Passo 3
Como
é a função inversa de
, ela também é injetora. Em particular vale
Passo 4
Partindo de
aplicamos
(isto é, elevamos
a essa potência) em ambos os lados e usamos a propriedade da inversa:
Passo 5
Mas
e
. Logo da igualdade anterior segue