15.10.15 (a) Mostre que
Lsen k tt=cotg^-1(sk)
(b) Usando esse resultado (com k=1 ), prove que
Lsi(t)=-1s t g^-1 s
em que
si(t)=-integralt^infty sen xx d x, a integral de seno

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da transformada de Laplace de e, em seguida, usando esse resultado com , obter a transformada de Laplace de
O conteúdo principal é a propriedade de derivação em relação a parâmetro para (a) e a propriedade de transformada de derivada em para (b).

Passo 2

Seja
F(k)=Llsin(k t)tr =integral0^inftysin(k t)t,e^-s t,dt
Para usar a técnica de diferenciar sob o sinal de integral, note que
partialpartial ksin(k t)t=cos(k t),
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F'(k) =integral0^inftycos(k t),e^-s t,dt =ss^2+k^2,
que é a transformada de cos(k t).

Passo 3

Integrando em k,
F(k)-F(0) =integral0^kss^2+u^2,du =l[arctanl(tfracusr)r]u=0^u=k =arctan!l(tfracksr)
Mas F(0)=L0=0. Portanto
F(k) =arctan!l(tfracksr) =cotg^-1!l(tfracskr)

Passo 4

Concluímos a parte (a):
Llsin(k t)tr =cotg^-1!l(tfracskr)

Passo 5

Para (b), observe que, pela definição,
Aplicando Laplace em ambos os lados:
(pelo resultado de (a) com ).

Passo 6

Usando a propriedade
com , obtemos
Mas
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Passo 7

Para finalizar, usamos a identidade
Assim

Resposta

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