15.10.15 (a) Mostre que
(b) Usando esse resultado (com
), prove que
em que
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da transformada de Laplace de
e, em seguida, usando esse resultado com
, obter a transformada de Laplace de
O conteúdo principal é a propriedade de derivação em relação a parâmetro para (a) e a propriedade de transformada de derivada em
para (b).
Passo 2
Seja
Para usar a técnica de diferenciar sob o sinal de integral, note que
logo
que é a transformada de
.
Passo 3
Integrando em
,
Mas
. Portanto
Passo 4
Concluímos a parte (a):
Passo 5
Para (b), observe que, pela definição,
Aplicando Laplace em ambos os lados:
(pelo resultado de (a) com
).
Passo 6
Usando a propriedade
com , obtemos
Mas
Logo
Passo 7
Para finalizar, usamos a identidade
Assim