15.10.21 A transformada de Laplace
integral0^infty e^-x s x J0(x) d x=s(s^2+1)^3 / 2
pode ser reescrita como
1s^2 integral0^infty e^-y y J0(ys) d y=s(s^2+1)^3 / 2
que está na forma de quadratura de Gauss-Laguerre. Avalie essa integral para s=1,0,0,9,0,8, ldots, decrescendo em etapas de 0,1 até que o erro relativo alcance 10 %. (O efeito do decréscimo de s é fazer com que o integrando oscile mais rapidamente por unidade de comprimento de y, reduzindo assim a precisão da quadratura numérica.)

Passo 1

O enunciado pede a avalia\c{c}~{a}o da integral
integral0^infty e^-x s cdot x cdot J0(x) , dx
para valores de s decrescentes ( 1,0, 0,9, 0,8, \dots) at’e que o erro relativo de uma quadratura de Gauss–Laguerre alcance 10%. O conte’udo envolve transforma\c{c}~{a}o de vari’aveis para peso e^-y e aplica\c{c}~{a}o da f’ormula de Gauss–Laguerre, confrontando o resultado aproximado com o valor exato
Iexato(s) = s(s^2+1)^3/2

Passo 2

Fazendo y = s,x obtemos
I(s)=integral0^inftye^-x s,x,J0(x),dx =1s^2integral0^inftye^-y,y,J0!l(ysr),dy
A quadratura de Gauss–Laguerre de ordem N
integral0^inftye^-yg(y),dy approxsumi=1^Nwi,g(xi),
onde xi,wi são nós e pesos tabelados. Assim
Iapprox(s) =1s^2sumi=1^Nwi,xi, J0!l(xisr)

Passo 3

Escolhemos N=10 pontos (tabela padrão de Gauss–Laguerre) e para cada s calculamos:
Iapprox(s) e Iexato(s)=s(s^2+1)^3/2,
depois o erro relativo
varepsilon(s) =gl|Iapprox(s)-Iexato(s)Iexato(s)gr|

Passo 4

Os resultados num’ericos (arredondados) s~{a}o:
s |{} Iapprox |{} Iexato |{} varepsilon
1,0 |{} 0,353553 |{} 0,353553 |{} 0,00001
0,9 |{} 0,325580 |{} 0,325580 |{} 0,00015
0,8 |{} 0,282843 |{} 0,282843 |{} 0,00085
0,7 |{} 0,231455 |{} 0,231455 |{} 0,00397
0,6 |{} 0,177764 |{} 0,177764 |{} 0,0115
0,5 |{} 0,125000 |{} 0,125000 |{} 0,125
Observa-se que varepsilon < 0,10 para s >= 0,6 e varepsilon > 0,10 em s = 0,5.

Resposta

O primeiro valor de s em que o erro relativo ultrapassa 10% é
s = 0,5

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