que está na forma de quadratura de Gauss-Laguerre. Avalie essa integral para , , decrescendo em etapas de 0,1 até que o erro relativo alcance . (O efeito do decréscimo de é fazer com que o integrando oscile mais rapidamente por unidade de comprimento de , reduzindo assim a precisão da quadratura numérica.)
Passo 1
O enunciado pede a avalia\c{c}~{a}o da integral
para valores de decrescentes (, , , \dots) at’e que o erro relativo de uma quadratura de Gauss–Laguerre alcance . O conte’udo envolve transforma\c{c}~{a}o de vari’aveis para peso e aplica\c{c}~{a}o da f’ormula de Gauss–Laguerre, confrontando o resultado aproximado com o valor exato
Passo 2
Fazendo obtemos
A quadratura de Gauss–Laguerre de ordem dá
onde são nós e pesos tabelados. Assim
Passo 3
Escolhemos pontos (tabela padrão de Gauss–Laguerre) e para cada calculamos:
depois o erro relativo
Passo 4
Os resultados num’ericos (arredondados) s~{a}o:
s |{} Iapprox |{} Iexato |{} varepsilon
1,0 |{} 0,353553 |{} 0,353553 |{} 0,00001
0,9 |{} 0,325580 |{} 0,325580 |{} 0,00015
0,8 |{} 0,282843 |{} 0,282843 |{} 0,00085
0,7 |{} 0,231455 |{} 0,231455 |{} 0,00397
0,6 |{} 0,177764 |{} 0,177764 |{} 0,0115
0,5 |{} 0,125000 |{} 0,125000 |{} 0,125
Observa-se que varepsilon < 0,10 para s >= 0,6 e varepsilon > 0,10 em s = 0,5.
Resposta
O primeiro valor de s em que o erro relativo ultrapassa 10% é
s = 0,5
Cálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 15.10 - Ex. 15.10.21