15.10.19 Mostre que
L^-1s^3(s^2+a^2)^-2=cos a t-a2 t sen a t.

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
F(s)=s^3(s^2+a^2)^2
O conteúdo envolvido é a transformada inversa de Laplace, usando linearidade, transformadas conhecidas
L,cos a t=s/(s^2+a^2), Lsin a t=a/(s^2+a^2), e a propriedade
Lt,f(t)=-ddsF(s).

Passo 2

Fazemos uma decomposição algébrica de s^3:
s^3=s,(s^2+a^2)-a^2s
Logo
s^3(s^2+a^2)^2 =s,(s^2+a^2)(s^2+a^2)^2 -a^2s(s^2+a^2)^2 =ss^2+a^2 -;a^2,s(s^2+a^2)^2

Passo 3

O primeiro termo inverte diretamente para
L^-1lss^2+a^2r =cos a t

Passo 4

Para o segundo termo usamos a transformada conhecida
Lt,sin a t =2a,s(s^2+a^2)^2
Desse modo
s(s^2+a^2)^2 =12a,Lt,sin a t,
e então
L^-1la^2,s(s^2+a^2)^2r =a^2,12a;t,sin a t =a2,t,sin a t
Como no nosso F(s) esse termo vem com sinal negativo, obtemos
-tfraca2,t,sin a t.

Passo 5

Somando as duas partes, a inversa é
cos a t;-;a2,t,sin a t

Resposta

L^-1ls^3(s^2+a^2)^-2r =cos a t-a2,t,sin a t

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