Mostre que se
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sempre que um inteiro
divide um outro inteiro
, então
também divide
. O conteúdo principal aqui é a função totiente de Euler, que é multiplicativa e admitimos a sua expressão em termos da fatoração prima.
Passo 2
Como
, podemos escrever as fatorações primas
onde cada
é primo e os expoentes satisfazem
. Se algum
, o fator
simplesmente não aparece em
.
Passo 3
Usando a fórmula da função totiente em fatoração prima, temos
onde, no caso
, interpretamos
como
, pois esse primo não contribui para
.
Passo 4
Para ver que
divide
, consideramos o quociente
Cada fator
é um inteiro (pois
), logo o produto é inteiro. Isso mostra que
.
Resposta
Ficou demonstrado que, se
, então
.