Mostre que se d mid n, então varphi(d) mid varphi(n).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sempre que um inteiro d divide um outro inteiro n, então varphi(d) também divide varphi(n). O conteúdo principal aqui é a função totiente de Euler, que é multiplicativa e admitimos a sua expressão em termos da fatoração prima.

Passo 2

Como dmid n, podemos escrever as fatorações primas
n = prodi=1^k pi^ai, d = prodi=1^k pi^bi,
onde cada pi é primo e os expoentes satisfazem 0 <= bi <= ai. Se algum bi=0, o fator pi simplesmente não aparece em d.

Passo 3

Usando a fórmula da função totiente em fatoração prima, temos
varphi(n) = prodi=1^k l(pi^ai-pi^ai-1r) = prodi=1^k pi^ai-1,(pi-1),
varphi(d) = prodi=1^k pi^bi-1,(pi-1),
onde, no caso bi=0, interpretamos pi^bi-1(pi-1) como ;1, pois esse primo não contribui para d.

Passo 4

Para ver que varphi(d) divide varphi(n), consideramos o quociente
varphi(n)varphi(d) = prodi=1^k pi^ai-1,(pi-1)pi^bi-1,(pi-1) = prodi=1^k pi^,ai-bi
Cada fator pi^,ai-bi é um inteiro (pois ai>= bi), logo o produto é inteiro. Isso mostra que varphi(d)mid varphi(n).

Resposta

Ficou demonstrado que, se dmid n, então varphi(d)mid varphi(n).

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