Sejarn a1 e telementos de Z e consideremos x=a1 t-1. Mostre que para todo ímpar n >= 1 existe an in Z para o qual x^n=an t-1.
Resolução (por indução sobre n):
n=1: x^1=(a1 t-1)^1=a1 t-1
Seja r >= 0 e suponhamos x^2 r+1=ak t-1, onde k=2 r+1.
Então: x^2(r+1)+1=x^2 r+3=x^2 r+1 cdot x^2=(ak t-1)(a1 t-1)^2=(ak t-1)
(a1^2 t^2-2 a1 t+1). Podemos fazer a1^2 t^2-2 a1 t+1=(a1^2 t-2 a1) t+1= =as t+1, onde as=a1^2 t-2 a1. Logo
x^2(r+1)+1=x^2 r+3=(ak t-1)(as t+1)=am t-1,
onde am=ak as t+ak-as.

Passo 1

O enunciado diz que temos a1,tinZ e definimos
x = a1,t - 1
Queremos mostrar que para todo n>=1 ímpar existe um inteiro an tal que
x^n = an,t - 1
O método será o princípio da indução em n, mas só nos preocupamos com valores ímpares de n.

Passo 2

Base da indução ( n=1):
x^1 = a1,t - 1,
logo basta tomar a1 mesmo e a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para algum r>=0 já sabemos que, tomando
k = 2r+1,
existe akinZ tal que
x^k = ak,t - 1
Queremos provar que isso vale também para
n = k+2 = 2(r+1)+1,
isto é, para o próximo ímpar.

Passo 4

Calculemos
x^k+2 ;=; x^k,x^2 ;=;l(ak,t - 1r),(a1,t - 1)^2
Primeiro expandimos
(a1,t - 1)^2 = a1^2,t^2 - 2,a1,t + 1
Reescrevendo a1^2,t^2-2a1,t+1 como um múltiplo de t mais 1, vemos que
a1^2,t^2-2a1,t+1 = l(a1^2,t - 2,a1r),t + 1
Como a1^2,t - 2a1inZ, definimos
as = a1^2,t - 2,a1 inZ,
e então
(a1,t - 1)^2 = as,t + 1

Passo 5

Substituindo de volta em x^k+2, fica
x^k+2 = (ak,t - 1),(as,t + 1) = ak,as,t^2 ;+; ak,t ;-; as,t ;-; 1
Agrupando termos múltiplos de t:
x^k+2 = l(ak,as,t + ak - asr),t ;-; 1
Como ak,asinZ, o coeficiente
am = ak,as,t + ak - as
é inteiro, e portanto
x^k+2 = am,t - 1
com aminZ. Isso fecha o passo indutivo.

Resposta

Para todo n>=1 ímpar existe aninZ tal que
x^n = an,t - 1

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