Sejarn
e telementos de
e consideremos
. Mostre que para todo ímpar
existe
para o qual
.
Resolução (por indução sobre n):
Seja
e suponhamos
, onde
.
Então:
. Podemos fazer
, onde
. Logo
onde
.
Resolução (por indução sobre n):
Então:
Passo 1
O enunciado diz que temos
e definimos
Queremos mostrar que para todo
ímpar existe um inteiro
tal que
O método será o princípio da indução em
, mas só nos preocupamos com valores ímpares de
.
Passo 2
Base da indução (
):
logo basta tomar
mesmo e a propriedade vale para
.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que para algum
já sabemos que, tomando
existe
tal que
Queremos provar que isso vale também para
isto é, para o próximo ímpar.
Passo 4
Calculemos
Primeiro expandimos
Reescrevendo
como um múltiplo de
mais
, vemos que
Como
, definimos
e então
Passo 5
Substituindo de volta em
, fica
Agrupando termos múltiplos de
:
Como
, o coeficiente
é inteiro, e portanto
com
. Isso fecha o passo indutivo.
Resposta
Para todo
ímpar existe
tal que