Mostre que:
Se n>0,7 não divide 2^n+1;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n>0, não ocorre
7 mid 2^n + 1
O conteúdo chave aqui é aritmética modular, em particular trabalhar com potências de 2 módulo 7.

Passo 2

Vamos achar a ordem de 2 em Z7. Calculamos
2^3 = 8 equiv 1 pmod7
Isso mostra que o menor expoente positivo para o qual 2^k equiv 1pmod7 é k=3. Logo, a sequência l(2^n bmod 7r) é periódica de período 3.

Passo 3

Como o período é 3, os únicos resíduos possíveis de 2^n em módulo 7 são aqueles para nequiv 1,2,0pmod3:
Para nequiv 1pmod3,
2^n equiv 2pmod7Longrightarrow 2^n+1equiv 3pmod7
Para nequiv 2pmod3,
2^n equiv 4pmod7Longrightarrow 2^n+1equiv 5pmod7
Para nequiv 0pmod3,
2^n equiv 1pmod7Longrightarrow 2^n+1equiv 2pmod7
Em nenhum desses casos o resto é 0. Portanto, para todo n>0 temos 2^n+1notequiv0pmod7.

Resposta

Logo, 7 não divide 2^n+1 para nenhum inteiro n>0.

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