Demonstrar que, se
é um número perfeito par, então n é congruente a 1 (mod. 6).
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que, se
é um número perfeito par, então
Para isso vamos usar o Teorema de Euclides–Euler, que dá a forma geral dos números perfeitos pares, e depois fazer contas em aritmética modular.
Passo 2
Pelo Teorema de Euclides–Euler, todo número perfeito par é da forma
onde
e
são primos. Se
então
, mas estamos supondo
. Logo
é um primo ímpar, digamos
com
.
Passo 3
Calculamos
e
módulo
. Como
é par e pelo fato de
temos
Além disso,
Passo 4
Multiplicando as congruências obtenho
Passo 5
Concluímos que todo número perfeito par
satisfaz
e não
. Portanto a afirmação dada no enunciado é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa: na verdade, todo número perfeito par
verifica