Demonstrar que, se n>6 é um número perfeito par, então n é congruente a 1 (mod. 6).

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que, se n>6 é um número perfeito par, então
nequiv1pmod6
Para isso vamos usar o Teorema de Euclides–Euler, que dá a forma geral dos números perfeitos pares, e depois fazer contas em aritmética modular.

Passo 2

Pelo Teorema de Euclides–Euler, todo número perfeito par é da forma
n = 2^,p-1l(2^p - 1r)
onde p e 2^p-1 são primos. Se p=2 então n=2^1(3)=6, mas estamos supondo n>6. Logo p é um primo ímpar, digamos p=2k+1 com k>=1.

Passo 3

Calculamos 2^p-1 e 2^p-1 módulo 6. Como p-1=2k é par e pelo fato de
2^2equiv4pmod6 Longrightarrow 2^2k=(2^2)^kequiv4^kequiv4pmod6 (k>=1),
temos
2^,p-1 = 2^2kequiv4pmod6
Além disso,
2^p=2cdot2^2kequiv2cdot4=8equiv2pmod6 Longrightarrow 2^p-1equiv2-1=1pmod6

Passo 4

Multiplicando as congruências obtenho
n = 2^,p-1(2^p-1)equiv4cdot1=4pmod6

Passo 5

Concluímos que todo número perfeito par n>6 satisfaz
nequiv4pmod6,
e não nequiv1pmod6. Portanto a afirmação dada no enunciado é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa: na verdade, todo número perfeito par n>6 verifica
nequiv4pmod6

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