Mostre que:
2^2 x+1+1 é divisível por 3 ;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro x, o número
2^2x+1+1
é divisível por 3.
O conteúdo principal aqui é aritmética modular: vamos usar congruências para verificar que um número é múltiplo de 3.

Passo 2

Lembrando que um inteiro a é divisível por 3 se, e somente se, a equiv 0 pmod3. Vamos calcular 2^2x+1+1 módulo 3. Primeiro:
2^2 = 4 equiv 1 pmod3
Então, elevando à potência x:
2^2x = l(2^2r)^x equiv 1^x = 1 pmod3

Passo 3

Multiplicando por mais um fator 2, temos
2^2x+1 = 2^2x cdot 2 equiv 1 cdot 2 = 2 pmod3
Logo,
2^2x+1 + 1 equiv 2 + 1 = 3 equiv 0 pmod3

Resposta

Como 2^2x+1+1 equiv 0 pmod3, concluímos que 2^2x+1+1 é divisível por 3.

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