Mostre que os números 1184 e 1210 são amigáveis.
Nota: A descoberta de que esses dois números são amigáveis só foi feita em 1886 por um jovem italiano de 16 anos de idade chamado Nicolo Paganini.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que 1184 e 1210 são números amigáveis. Dois números naturais m e n são chamados amigáveis se a soma dos divisores próprios de m (isto é, todos os divisores de m excluindo m) é exatamente n e, reciprocamente, a soma dos divisores próprios de n é m. Para isso, vamos usar fatoração prima e a propriedade multiplicativa da função soma-de-divisores
sigma(n)=sumdmid nd, de modo que a soma dos divisores próprios de n é sigma(n)-n.

Passo 2

Fatoramos primeiro 1184. Notamos que
1184 = 16 times 74 = 2^4 times (2 times 37) = 2^5 times 37
Como sigma é multiplicativa e
sigma(2^5)=2^6-12-1=63, sigma(37)=37^2-137-1=1369-136=38,
temos
sigma(1184)=sigma(2^5),sigma(37)=63times 38=2394
Logo, a soma dos divisores próprios de 1184 é
sigma(1184)-1184=2394-1184=1210

Passo 3

Agora fatoramos 1210:
1210 = 10 times 121 = (2times5)times(11^2) = 2^1times5^1times11^2
Calculamos
sigma(2)=2^2-12-1=3, sigma(5)=5^2-15-1=6, sigma(11^2)=11^3-111-1=1331-110=133
Portanto
sigma(1210)=3times6times133=2394,
e a soma dos divisores próprios de 1210 é
sigma(1210)-1210=2394-1210=1184

Passo 4

Observamos que a soma dos divisores próprios de 1184 é 1210 e a soma dos divisores próprios de 1210 é 1184. Isso corresponde exatamente à definição de números amigáveis.

Resposta

Como
sigma(1184)-1184=1210 e sigma(1210)-1210=1184,
concluímos que 1184 e 1210 são de fato números amigáveis.

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