Mostre que os números 1184 e 1210 são amigáveis.
Nota: A descoberta de que esses dois números são amigáveis só foi feita em 1886 por um jovem italiano de 16 anos de idade chamado Nicolo Paganini.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
e
são números amigáveis. Dois números naturais
e
são chamados amigáveis se a soma dos divisores próprios de
(isto é, todos os divisores de
excluindo
) é exatamente
e, reciprocamente, a soma dos divisores próprios de
é
. Para isso, vamos usar fatoração prima e a propriedade multiplicativa da função soma-de-divisores
, de modo que a soma dos divisores próprios de
é
.
Passo 2
Fatoramos primeiro
. Notamos que
Como
é multiplicativa e
temos
Logo, a soma dos divisores próprios de
é
Passo 3
Agora fatoramos
:
Calculamos
Portanto
e a soma dos divisores próprios de
é
Passo 4
Observamos que a soma dos divisores próprios de
é
e a soma dos divisores próprios de
é
. Isso corresponde exatamente à definição de números amigáveis.
Resposta
Como
concluímos que
e
são de fato números amigáveis.