Mostre que a parte da espiral hiperbólica de a tem comprimento infinito.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a parte da espiral hiperbólica definida por
tem comprimento infinito. Vamos usar a fórmula do comprimento de uma curva em coordenadas polares.
Passo 2
Seja . A derivada em relação a é
Pela fórmula do comprimento em polares, o trecho de até tem comprimento
Aqui usaremos e .
Passo 3
Substituindo e , obtemos
logo o integrando fica
Portanto
Passo 4
Para ver que esse integral diverge, note que para todo vale
portanto
Logo
Passo 5
O integral
é o clássico integral harmônico no infinito, que diverge:
Passo 6
Como L é maior que um integral que diverge, concluímos que L também diverge. Portanto o comprimento da espiral de theta=pi/2 até theta=infty é infinito.
Resposta
O comprimento é infinito.
Cálculo - Simmons - Cálculo com Geometria Analitica - Vol 2 - 1ª Edição - Capítulo 16.16.4 - Ex. 10