Mostre que a parte da espiral hiperbólica r theta=1 de theta=pi / 2 a theta=infty tem comprimento infinito.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a parte da espiral hiperbólica definida por
r,theta = 1, thetainl[tfracpi2,inftyr)
tem comprimento infinito. Vamos usar a fórmula do comprimento de uma curva em coordenadas polares.

Passo 2

Seja r(theta)=1/theta. A derivada em relação a theta é
drdtheta = -1theta^2
Pela fórmula do comprimento em polares, o trecho de theta=a até theta=b tem comprimento
L=integrala^braizl(drdthetar)^2 + l(r(theta)r)^2;dtheta
Aqui usaremos a=tfracpi2 e btoinfty.

Passo 3

Substituindo r(theta) e drdtheta, obtemos
l(tfracdrdthetar)^2 = 1theta^4, l(r(theta)r)^2 = 1theta^2,
logo o integrando fica
raiz1theta^4 + 1theta^2 = raiz1+theta^2theta^4 = raiz1+theta^2theta^2
Portanto
L=integralpi/2^inftyraiz1+theta^2theta^2;dtheta

Passo 4

Para ver que esse integral diverge, note que para todo theta>0 vale
raiz1+theta^2>theta,
portanto
raiz1+theta^2theta^2>thetatheta^2 = 1theta
Logo
L > integralpi/2^infty 1theta;dtheta

Passo 5

O integral
integralpi/2^infty 1theta;dtheta
é o clássico integral harmônico no infinito, que diverge:
integralpi/2^A1theta;dtheta = l[ln(theta)r]pi/2^A = ln(A) - lnl(tfracpi2r) ;xrightarrow[Atoinfty];infty

Passo 6

Como L é maior que um integral que diverge, concluímos que L também diverge. Portanto o comprimento da espiral de theta=pi/2 até theta=infty é infinito.

Resposta

O comprimento é infinito.

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