*18. Determine quais números de Fibonacci são divisíveis por 3. Use uma forma da indução matemática para demonstrar sua conjectura.

Passo 1

O enunciado pede para descobrir quais termos da sequência de Fibonacci são divisíveis por 3 e usar uma forma de indução para provar essa regularidade. O conteúdo aqui é a definição recursiva de Fibonacci,
F_0 = 0,\;F_1 = 1,\;F_{n+2} = F_{n+1} + F_n,
e vamos precisar de uma identidade que relacione F_{n+4} a termos anteriores para executar a prova por indução.

Passo 2

Vamos listar os primeiros termos de Fibonacci e ver quais são múltiplos de 3: F_0 = 0 (divisível por 3), F_1 = 1, F_2 = 1, F_3 = 2, F_4 = 3 (divisível por 3), F_5 = 5, F_6 = 8, F_7 = 13, F_8 = 21 (divisível por 3), F_9 = 34, F_{10} = 55, F_{11} = 89, F_{12} = 144 (divisível por 3).
Observamos que os índices dos termos divisíveis por 3 são 0,4,8,12,\dots, ou seja, múltiplos de 4.

Passo 3

Conjecturamos que, para todo k\ge0,
3 \mid F_{4k}.

Passo 4

Base da indução: para k=0 temos F_{0}=0, e de fato 3\mid0. Logo a afirmação vale para k=0.

Passo 5

Passo indutivo: suponha que 3\mid F_{4k} para algum k\ge0. Queremos mostrar que 3\mid F_{4(k+1)}, isto é, 3\mid F_{4k+4}. Usamos a identidade
F_{n+4} =F_{n+3}+F_{n+2} =\bigl(F_{n+2}+F_{n+1}\bigr)+F_{n+2} =2F_{n+2}+F_{n+1} =2F_{n+2}+\bigl(F_{n+2}-F_n\bigr) =3F_{n+2}-F_n.
Tomando n=4k, obtemos
F_{4k+4}=3F_{4k+2}-F_{4k}.
Nesse lado direito, 3F_{4k+2} é múltiplo de 3 trivialmente, e por hipótese indutiva F_{4k} também é múltiplo de 3. Logo a diferença 3F_{4k+2}-F_{4k} é múltiplo de 3, isto é, 3\mid F_{4k+4}. Assim a propriedade se mantém para k+1.

Resposta

Os termos de Fibonacci divisíveis por 3 são exatamente aqueles de índice múltiplo de 4, isto é,
\{\,F_{4k}\mid k=0,1,2,\dots\}.

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