*18. Determine quais números de Fibonacci são divisíveis por 3. Use uma forma da indução matemática para demonstrar sua conjectura.
Passo 1
O enunciado pede para descobrir quais termos da sequência de Fibonacci são divisíveis por 3 e usar uma forma de indução para provar essa regularidade. O conteúdo aqui é a definição recursiva de Fibonacci,
e vamos precisar de uma identidade que relacione
a termos anteriores para executar a prova por indução.
Passo 2
Vamos listar os primeiros termos de Fibonacci e ver quais são múltiplos de 3:
(divisível por 3),
,
,
,
(divisível por 3),
,
,
,
(divisível por 3),
,
,
,
(divisível por 3).
Observamos que os índices dos termos divisíveis por 3 são , ou seja, múltiplos de 4.
Observamos que os índices dos termos divisíveis por 3 são
Passo 3
Conjecturamos que, para todo
,
Passo 4
Base da indução: para
temos
, e de fato
. Logo a afirmação vale para
.
Passo 5
Passo indutivo: suponha que
para algum
. Queremos mostrar que
, isto é,
. Usamos a identidade
Tomando
, obtemos
Nesse lado direito,
é múltiplo de 3 trivialmente, e por hipótese indutiva
também é múltiplo de 3. Logo a diferença
é múltiplo de 3, isto é,
. Assim a propriedade se mantém para
.
Resposta
Os termos de Fibonacci divisíveis por 3 são exatamente aqueles de índice múltiplo de 4, isto é,