Mostre que um reticulado distributivo complementado é uma álgebra booleana.

Passo 1

O enunciado diz que temos um reticulado L com as operações \land e \lor, elemento mínimo 0 e máximo 1, que é
  1. distributivo, ou seja, para todos x,y,z\in L vale
x\land(y\lor z) = (x\land y)\lor(x\land z) \quad\text{e}\quad x\lor(y\land z) = (x\lor y)\land(x\lor z),
  1. complementado, ou seja, para cada a\in L existe pelo menos um b\in L tal que
a\land b = 0 \quad\text{e}\quad a\lor b = 1.
Queremos mostrar que estas propriedades bastam para que L seja uma álgebra booleana, isto é, que cada elemento tenha complemento único, que a negação seja involutiva e que valham as leis de De Morgan.

Passo 2

(Único complemento)
Suponha que b e b' sejam ambos complementos de a. Então
a\land b = 0,\quad a\lor b = 1, \quad a\land b' = 0,\quad a\lor b' = 1.
Usando distributividade e absorção:
b = b\land 1 = b\land(a\lor b') = (b\land a)\lor(b\land b') = 0\lor(b\land b') = b\land b'.
Do mesmo modo
b' = b'\land(a\lor b) = (b'\land a)\lor(b'\land b) = 0\lor(b'\land b) = b'\land b.
Logo b = b\land b' = b' \land b = b'. Portanto o complemento de cada a é único.

Passo 3

(Involutividade)
Já que todo a\in L tem complemento único, e a satisfaz
a\land a' = 0,\quad a\lor a' = 1,
também a' tem complemento único, mas a é um complemento de a'. Logo
(a')' = a.

Passo 4

(Leis de De Morgan)
Vamos mostrar, por exemplo, que
(x\lor y)' = x'\land y'.
  1. Primeiro, verificamos que x'\land y' é complemento de x\lor y:
(x\lor y)\land(x'\land y') = (x\land x'\land y') \;\lor\; (y\land x'\land y') = 0\lor0 = 0,
e
(x\lor y)\lor(x'\land y') = \bigl((x\lor y)\lor x'\bigr)\land\bigl((x\lor y)\lor y'\bigr) = (x\lor x'\lor y)\land(x\lor y\lor y') = 1\land1 = 1.
Como o complemento é único, concluímos (x\lor y)'=x'\land y'.
2. De modo análogo mostra-se (x\land y)' = x'\lor y'.

Passo 5

Já obtivemos que em L cada elemento tem complemento único, que a negação é involutiva e que valem as leis de De Morgan. Essas são exatamente as propriedades que definem uma álgebra booleana. Portanto, todo reticulado distributivo complementado é uma álgebra booleana.

Resposta

Um reticulado distributivo complementado satisfaz unicidade de complementos, involutividade e leis de De Morgan, logo é uma álgebra booleana.

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