Mostre que um reticulado distributivo complementado é uma álgebra booleana.
Passo 1
O enunciado diz que temos um reticulado
com as operações
e
, elemento mínimo
e máximo
, que é
- distributivo, ou seja, para todos
vale
- complementado, ou seja, para cada
existe pelo menos um tal que
Queremos mostrar que estas propriedades bastam para que
seja uma álgebra booleana, isto é, que cada elemento tenha complemento único, que a negação seja involutiva e que valham as leis de De Morgan.
Passo 2
(Único complemento)
Suponha que e
sejam ambos complementos de
. Então
Suponha que
Usando distributividade e absorção:
Do mesmo modo
Logo
. Portanto o complemento de cada
é único.
Passo 3
(Involutividade)
Já que todo tem complemento único, e
satisfaz
Já que todo
também
tem complemento único, mas
é um complemento de
. Logo
Passo 4
(Leis de De Morgan)
Vamos mostrar, por exemplo, que
Vamos mostrar, por exemplo, que
- Primeiro, verificamos que
é complemento de :
e
Como o complemento é único, concluímos
.
2. De modo análogo mostra-se .
2. De modo análogo mostra-se
Passo 5
Já obtivemos que em
cada elemento tem complemento único, que a negação é involutiva e que valem as leis de De Morgan. Essas são exatamente as propriedades que definem uma álgebra booleana. Portanto, todo reticulado distributivo complementado é uma álgebra booleana.
Resposta
Um reticulado distributivo complementado satisfaz unicidade de complementos, involutividade e leis de De Morgan, logo é uma álgebra booleana.