Mostre que se
é uma função par, então sua série de Fourier é uma série de cossenos. Além disso, mostre que se
é uma função ímpar, então sua série de Fourier é uma série de senos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar dois fatos sobre séries de Fourier em
:
) Se
é função par, então todos os coeficientes de seno se anulam e a série fica só de cossenos.
) Se
é função ímpar, então todos os coeficientes de cosseno (incluindo o termo constante) se anulam e sobra só série de senos.
Para isso vamos usar a definição geral da série de Fourier e as propriedades de paridade e ortogonalidade de e
.
Para isso vamos usar a definição geral da série de Fourier e as propriedades de paridade e ortogonalidade de
Passo 2
A série de Fourier geral de uma função
em
é
com os coeficientes dados por
para
, e
Passo 3
Suponha que
seja par, ou seja,
. Então:
- No cálculo de
aparece o integrando . Como é ímpar, o produto é par ímpar ímpar. A integral de uma função ímpar em vale zero. Logo
- O termo constante
e cada não se anulam em geral, pois o integrando é par par par, que pode dar valor não nulo.
Passo 4
Concluímos que, se
é par, a série de Fourier reduz-se à forma
ou seja, é série de cossenos.
Passo 5
Agora suponha que
seja ímpar,
. Então:
- Para
temos integrando , que é ímpar, em . A integral de ímpar em intervalo simétrico é zero, logo . - Para cada
, o integrando é . Como é par, o produto ímpar par ímpar, cuja integral em também é zero. Portanto para todo . - Os coeficientes
podem ser não nulos, pois é ímpar ímpar par.
Passo 6
Logo, se
é ímpar, a série de Fourier fica
ou seja, é série de senos.
Resposta
Se
é par, sua série de Fourier em
é somente de cossenos:
Se
é ímpar, sua série de Fourier é somente de senos: