Mostre que se f:[-\pi, \pi] \rightarrow \mathbb{R} é uma função par, então sua série de Fourier é uma série de cossenos. Além disso, mostre que se f é uma função ímpar, então sua série de Fourier é uma série de senos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar dois fatos sobre séries de Fourier em [-\,\pi,\pi]:
1) Se f é função par, então todos os coeficientes de seno se anulam e a série fica só de cossenos.
2) Se f é função ímpar, então todos os coeficientes de cosseno (incluindo o termo constante) se anulam e sobra só série de senos.
Para isso vamos usar a definição geral da série de Fourier e as propriedades de paridade e ortogonalidade de \cos(nx) e \sin(nx).

Passo 2

A série de Fourier geral de uma função f em [-\,\pi,\pi] é
f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\bigr],
com os coeficientes dados por
a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx,
para n\ge1, e
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx.

Passo 3

Suponha que f seja par, ou seja, f(-x)=f(x). Então:
  • No cálculo de b_n aparece o integrando f(x)\sin(nx). Como \sin(nx) é ímpar, o produto f(x)\sin(nx) é par \timesímpar = ímpar. A integral de uma função ímpar em [-\,\pi,\pi] vale zero. Logo
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx = 0.
  • O termo constante a_0 e cada a_n não se anulam em geral, pois o integrando f(x)\cos(nx) é par \timespar = par, que pode dar valor não nulo.

Passo 4

Concluímos que, se f é par, a série de Fourier reduz-se à forma
f(x)= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx),
ou seja, é série de cossenos.

Passo 5

Agora suponha que f seja ímpar, f(-x)=-f(x). Então:
  • Para a_0 temos integrando f(x), que é ímpar, em [-\,\pi,\pi]. A integral de ímpar em intervalo simétrico é zero, logo a_0=0.
  • Para cada a_n, o integrando é f(x)\cos(nx). Como \cos(nx) é par, o produto ímpar \timespar = ímpar, cuja integral em [-\,\pi,\pi] também é zero. Portanto a_n=0 para todo n.
  • Os coeficientes b_n podem ser não nulos, pois f(x)\sin(nx) é ímpar \timesímpar = par.

Passo 6

Logo, se f é ímpar, a série de Fourier fica
f(x)= \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx),
ou seja, é série de senos.

Resposta

Se f é par, sua série de Fourier em [-\,\pi,\pi] é somente de cossenos:
f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx).
Se f é ímpar, sua série de Fourier é somente de senos:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx).

Exercícios de Livros Relacionados