a) Mostre que todo número primo é da forma 4 k+1 ou 4 k+3.
b) Mostre que todo número primo é da forma 6 k+1 ou 6 k+5.
Resolução de a: Pelo algoritmo da divisão, aplicado a um número a in N (dividendo) e a 4 (divisor): a=4 k, a=4 k+1, a=4 k+2 e a=4 k+3. O primeiro e o segundo casos representam números compostos (sāo múltiplos de 2). Restam: a=4 k+1 ou a=4 k+3.

Passo 1

O enunciado pede dois itens parecidos, ambos usando o algoritmo da divisão em N:
a) mostrar que todo primo p>2 só pode dar resto 1 ou 3 ao dividir por 4;
b) mostrar que todo primo p>3 só pode dar resto 1 ou 5 ao dividir por 6.
Para isso, vamos usar que primos maiores que 2 são ímpares e primos maiores que 3 também não são múltiplos de 3.

Passo 2

(a) Seja p um primo com p>2. Pelo algoritmo da divisão por 4, existe inteiro k tal que um dos casos vale:
p = 4k, p = 4k+1, p = 4k+2, p = 4k+3
Se p=4k ou p=4k+2, então p é par, logo divisível por 2. Mas como p>2 e primo, isso é impossível. Sobram:
p = 4k+1 ou p = 4k+3

Passo 3

(b) Seja p um primo com p>3. Pelo algoritmo da divisão por 6, existe inteiro k tal que um dos casos vale:
p = 6k,;6k+1,;6k+2,;6k+3,;6k+4,;6k+5
  • Se p=6k, 6k+2 ou 6k+4, então p é par.
  • Se p=6k+3, então p é múltiplo de 3.
    Nenhuma dessas três opções pode ocorrer para p>3 e primo. Logo só restam:
p = 6k+1 ou p = 6k+5

Resposta

(a) Todo primo p>2 é da forma 4k+1 ou 4k+3.
(b) Todo primo p>3 é da forma 6k+1 ou 6k+5.

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