Se a, b e c são números naturais não nulos, prove que: a|b Long<=ftrightarrow ac| bc.

Passo 1

O enunciado afirma que, para a,b,cinNsetminus0, vale
amid bLong<=ftrightarrow a,cmid b,c
O conteúdo usado será a definição de divisibilidade:
xmid yLong<=ftrightarrowexists,kinN;:;y=x,k

Passo 2

Prova de “ Rightarrow”: suponha que amid b. Então existe kinN tal que
b = a,k
Multiplicando ambos os lados por c (que é não nulo) obtemos
b,c = (a,k),c = (a,c),k,
logo ;a,cmid b,c.

Passo 3

Prova de “ Leftarrow”: suponha que a,cmid b,c. Então existe minN tal que
b,c = (a,c),m
Como cneq0, podemos dividir por c e vem
b = a,m,
portanto amid b.

Resposta

Assim, está provado que
amid bLong<=ftrightarrow a,cmid b,c

Exercícios de Livros Relacionados