Quando um número de dois dígitos é somado a outro número de dois dígitos possuindo os mesmo dígitos em ordem inversa, a soma é um quadrado perfeito. Determine todos estes números de 2 dígitos.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os números de dois dígitos que, somados ao seu inverso (mesmos dígitos em ordem invertida), resultem num quadrado perfeito. O conteúdo aqui é representação decimal de um número de dois dígitos e condição de quadrado perfeito. Vamos representar o número pelos dígitos a (dezena) e b (unidade), com 1<= a<=9 e 0<= b<=9.

Passo 2

O número original é
N = 10a + b
e o número invertido é
M = 10b + a
A soma vale
N + M = (10a + b) + (10b + a) = 11(a + b)
Para que N + M seja um quadrado perfeito, devemos ter
11(a + b)=m^2
para algum inteiro m.

Passo 3

Como 11 é primo, se 11mid m^2 então 11mid m, logo m=11n para algum inteiro n. Substituindo em 11(a+b)=m^2 obtém-se
11(a+b)=121,n^2 Longrightarrow a+b=11,n^2
Mas a+b<=9+9=18, de modo que a única possibilidade é n=1 e portanto
a + b = 11

Passo 4

Precisamos listar todos os pares de dígitos (a,b) com 1<= a<=9, 0<= b<=9 e a+b=11. São:
(a,b)in(2,9),,(3,8),,(4,7),,(5,6),,(6,5),,(7,4),,(8,3),,(9,2)
Cada par gera o número de dois dígitos 10a+b, isto é:
29,;38,;47,;56,;65,;74,;83,;92

Resposta

29
38
47
56
65
74
83
92

Exercícios de Livros Relacionados