Um número natural se diz abundante se sigma(n)>2 n e deficiente se sigma(n)<2 n.
a) Classifique em deficientes, perfeitos ou abundantes os números 1, 2, 3, ldots, 15.
b) Ache todos os números deficientes e todos os abundantes da forma 2 cdot 5^3(s >= 0).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, para cada n=1,2,dots,15, calcular sigma(n) (a soma de todos os divisores positivos de n) e comparar com 2n para classificá-lo em deficiente ( sigma(n)<2n), perfeito ( sigma(n)=2n) ou abundante ( sigma(n)>2n). Depois, para números da forma n=2cdot5^s com s>=0, determinar para quais s temos sigma(n)<2n (deficiente) ou sigma(n)>2n (abundante).

Passo 2

Lembrete:
  1. sigma(n) é a soma de todos os divisores positivos de n.
  2. Se sigma(n)<2n, n é deficiente; se sigma(n)=2n, é perfeito; se sigma(n)>2n, é abundante.

Passo 3

Classificamos de 1 a 15:
  • Para n primo ( 2,3,5,7,11,13), sigma(n)=1+n<2n, logo todos deficientes.
  • n=1: divisores 1, sigma(1)=1<2, deficiente.
  • n=4: 1,2,4, sigma(4)=7<8, deficiente.
  • n=6: 1,2,3,6, sigma(6)=12=12, perfeito.
  • n=8: 1,2,4,8, sigma(8)=15<16, deficiente.
  • n=9: 1,3,9, sigma(9)=13<18, deficiente.
  • n=10: 1,2,5,10, sigma(10)=18<20, deficiente.
  • n=12: 1,2,3,4,6,12, sigma(12)=28>24, abundante.
  • n=14: 1,2,7,14, sigma(14)=24<28, deficiente.
  • n=15: 1,3,5,15, sigma(15)=24<30, deficiente.

Passo 4

Para a parte (b), seja n=2cdot5^s. Como sigma é multiplicativa e gcd(2,5)=1,
sigma(n)=sigma(2),sigma(5^s)=(1+2),5^s+1-15-1 =3;5^s+1-14
E
2n=2cdot(2cdot5^s)=4cdot5^s

Passo 5

Comparamos sigma(n) e 2n:
sigma(n)<2n ;Long<=ftrightarrow; 3,5^s+1-14<4cdot5^s ;Long<=ftrightarrow; 15cdot5^s-3<16cdot5^s ;Long<=ftrightarrow; -3<5^s,
que é verdadeiro para todo s>=0.
E
sigma(n)>2n ;Long<=ftrightarrow; -3>5^s,
que não ocorre para nenhum s>=0.

Resposta

(a) Deficientes: 1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,13,14,15; Perfeito: 6; Abundante: 12.
(b) Para todo s>=0, n=2cdot5^s é deficiente e não há nenhum abundante nessa forma.

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