Ache dois números cujo produto é 4800 e seu mdc é 20 .

Passo 1

O enunciado pede dois números a e b tais que o produto seja 4800 e gcd(a,b)=20. Para resolver, usamos a propriedade de que, se gcd(a,b)=d, então existem inteiros x,y com gcd(x,y)=1 tais que
a = d,x, b = d,y

Passo 2

Tomando d=20, escrevemos a=20x e b=20y com gcd(x,y)=1. Como a,b=4800, temos
(20x)(20y)=4800
400,x,y=4800Longrightarrow x,y=12

Passo 3

Precisamos achar pares de inteiros positivos (x,y) tais que x cdot y=12 e gcd(x,y)=1. As decomposições de 12 são
(1,12),(2,6),(3,4),(4,3),(6,2),(12,1),
e as que satisfazem gcd(x,y)=1 são (1,12) e (3,4); (além dos simétricos).

Passo 4

Substituindo em a=20x e b=20y, temos os pares:
(a,b)=(20cdot1,20cdot12)=(20,240),
(a,b)=(20cdot3,20cdot4)=(60,80)

Resposta

(20,240) e (60,80).

Exercícios de Livros Relacionados