Se a e b são números naturais primos entre si, prove que mdc ( a+b, a^2+a b+b^2)=1.

Passo 1

O enunciado reclama que, para a,binN com gcd(a,b)=1, devemos provar
gcdl(a+b,,a^2+ab+b^2r)=1
O conteúdo aqui é teoria de divisibilidade e uso de combinações lineares para o MDC.

Passo 2

Seja
d = gcdl(a+b,,a^2+ab+b^2r)
Então d divide qualquer combinação linear dessas duas quantidades. Em particular, como dmid(a+b) e dmid(a^2+ab+b^2), temos
d ;m|;l(a^2+ab+b^2r);-;b,(a+b) ;=;a^2
Logo
d mid a^2

Passo 3

Como também dmid(a+b), segue
d ;m|;gcdl(a^2,;a+br)
Mas qualquer divisor comum a a^2 e a a+b também divide a. Logo
gcdl(a^2,;a+br) =gcdl(a,;a+br) =gcd(a,b) =1
Portanto dmid1, o que implica d=1.

Resposta

gcdl(a+b,,a^2+ab+b^2r)=1

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