Se pé um número natural primo e se a é um inteiro tal que 1<a<p, prove que p divide binompa.
Lembrete: binompa=p(p-1) ldots(p-a+1)a!

Passo 1

O enunciado afirma que p é primo e que a é um inteiro com 1<a<p. Queremos mostrar que
p mid binompa
sabendo que
binompa=p(p-1)cdots(p-a+1)a!,
Para isso vamos comparar a multiplicidade de p no numerador e no denominador.

Passo 2

No numerador temos o produto
p times (p-1)times(p-2)timescdotstimesl(p-(a-1)r)
Dentre esses fatores, apenas o primeiro, que é p, é divisível por p. Todos os outros são <= p-1 e, como p é primo, não dividem nenhum deles. Logo, a potência de p que aparece no numerador é exatamente 1.

Passo 3

No denominador está
a! = 1times2times3timescdotstimes a
Como a<p e p é primo, nenhum dos fatores de a! é múltiplo de p. Portanto, a potência de p no denominador é 0.

Passo 4

Ao formar a fração
binompa=numeradordenominador,
a diferença entre a multiplicidade de p no numerador e no denominador é 1-0=1. Isso significa que p permanece como fator no resultado, ou seja, p divide binompa.

Resposta

p divide binompa.

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