Mostre que todo múltiplo de um número perfeito, diferente do próprio número e de zero, é abundante.
Passo 1
O enunciado diz que
é um número perfeito, ou seja, a soma de todos os seus divisores é
Queremos mostrar que todo múltiplo
de
, diferente de
e de zero, é abundante. Em outras palavras, se
com inteiro
, então
Para isso vamos usar propriedades básicas da função soma dos divisores e do conceito de abundância.
Passo 2
Escreva o múltiplo como
com
e
. Seja
o conjunto de divisores de
. Então, para cada
, temos:
-
divide , logo divide . -
também divide .
Como
, os números
e
são distintos, de modo que ambos aparecem como divisores de
.
Passo 3
Pelo item anterior, a soma
dos divisores de
é pelo menos a soma de todos esses pares:
Passo 4
Agrupando a soma, temos
Como
, segue
Passo 5
Como
, então
, e portanto
Isto mostra que
, ou seja,
é abundante.
Resposta
Todo múltiplo inteiro
de um número perfeito
com
satisfaz
, logo é abundante.