Mostre que todo múltiplo de um número perfeito, diferente do próprio número e de zero, é abundante.

Passo 1

O enunciado diz que n é um número perfeito, ou seja, a soma de todos os seus divisores é
sigma(n)=2n
Queremos mostrar que todo múltiplo m de n, diferente de n e de zero, é abundante. Em outras palavras, se m=k,n com inteiro k>1, então
sigma(m)>2m
Para isso vamos usar propriedades básicas da função soma dos divisores e do conceito de abundância.

Passo 2

Escreva o múltiplo como
m=k,n,
com kinZ e k>1. Seja D(n) o conjunto de divisores de n. Então, para cada tinD(n), temos:
  1. t divide n, logo t divide m.
  2. k,t também divide m.
Como k>1, os números t e k,t são distintos, de modo que ambos aparecem como divisores de m.

Passo 3

Pelo item anterior, a soma sigma(m) dos divisores de m é pelo menos a soma de todos esses pares:
sigma(m);>=;sumtinD(n)l(t + k,tr)

Passo 4

Agrupando a soma, temos
sumtinD(n)l(t + k,tr) =(1+k)sumtinD(n)t =(1+k),sigma(n)
Como sigma(n)=2n, segue
sigma(m);>=;(1+k),2n

Passo 5

Como k>1, então 1+k>k, e portanto
sigma(m);>=;(1+k),2n>k,2n=2(k,n)=2m
Isto mostra que sigma(m)>2m, ou seja, m é abundante.

Resposta

Todo múltiplo inteiro m=k,n de um número perfeito n com k>1 satisfaz sigma(m)>2m, logo é abundante.

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