Se x é um número real e n um inteiro positivo, mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado
e
,
O conteúdo principal envolve propriedades da função piso e a decomposição de
em parte inteira e parte fracionária.
Passo 2
Decomponha
em
onde
e
. Então
Assim, a soma procurada vira
Passo 3
Observe que, para
e
, o valor de
só pode ser
ou
. De fato,
se, e somente se,
,
ou seja,
se, e somente se,
ou seja,
Defina
Então para todo
temos
, e para
vale
.
Passo 4
Como
varia de
até
, o número de índices
tais que
é
. Logo,
Pela decomposição anterior, a soma original é
Passo 5
Agora note que, definindo
, temos
e portanto
Substituindo em
obtemos
, de modo que
pois
.