Se x é um número real e n um inteiro positivo, mostre que
[x]+[x+1n]+[x+2n]+ldots+[x+n-1n]=[n x].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado xin R e nin N^+,
lfloor xrfloor + lfloor x+tfrac1nrfloor + lfloor x+tfrac2nrfloor + cdots + lfloor x+tfracn-1nrfloor = lfloor nxrfloor
O conteúdo principal envolve propriedades da função piso e a decomposição de x em parte inteira e parte fracionária.

Passo 2

Decomponha x em
x = m + alpha,
onde m = lfloor xrfloor e alpha = x - lfloor xrfloorin[0,1). Então
lfloor x + tfracknrfloor = lfloor m + alpha + tfracknrfloor = m + lfloor alpha + tfracknrfloor
Assim, a soma procurada vira
sumk=0^n-1lfloor x + tfracknrfloor = sumk=0^n-1l(m + lfloor alpha + tfracknrfloorr) = nm + sumk=0^n-1lfloor alpha + tfracknrfloor

Passo 3

Observe que, para alphain[0,1) e 0<= k<= n-1, o valor de lfloor alpha + tfracknrfloor só pode ser 0 ou 1. De fato,
lfloor alpha + tfracknrfloor = 1
se, e somente se,
alpha + tfrackn>=1,
ou seja,
k >= n(1-alpha)
Defina
t = llceil n(1-alpha)rrceil
Então para todo k>= t temos lfloor alpha + tfracknrfloor=1, e para k<t vale lfloor alpha + tfracknrfloor=0.

Passo 4

Como k varia de 0 até n-1, o número de índices k tais que k>= t é n-t. Logo,
sumk=0^n-1lfloor alpha + tfracknrfloor = n - t
Pela decomposição anterior, a soma original é
nm + (n-t)

Passo 5

Agora note que, definindo s = lfloor nalpharfloor, temos
nalpha < s+1 Longrightarrow n(1-alpha) > n-s-1
e portanto
t = lceil n(1-alpha)rceil = n-s
Substituindo em n-t obtemos n - t = s, de modo que
nm + (n-t) = nm + s = lfloor nxrfloor,
pois lfloor nxrfloor = lfloor n(m+alpha)rfloor = nm + lfloor nalpharfloor.

Resposta

lfloor xrfloor + lfloor x+tfrac1nrfloor + lfloor x+tfrac2nrfloor + cdots + lfloor x+tfracn-1nrfloor = lfloor nxrfloor

Exercícios de Livros Relacionados