Os números nos Exercícios 7-14 são grandes demais para serem manipulados por uma calculadora. Esses exercícios requerem uma compreensão dos conceitos.
12 Escreva 5^{3} \cdot 25^{2000} como uma potência de 5 .

Passo 1

O enunciado pede para escrever o produto \,5^{3}\cdot25^{2000} como uma única potência de base 5. Para isso vamos usar duas regras de exponenciação:
  1. potência de potência: \,(a^m)^n = a^{m\cdot n},
  2. produto de potências de mesma base: \,a^m\cdot a^n = a^{m+n}.

Passo 2

Observamos que 25 pode ser escrito como potência de 5, pois 25 = 5^2. Logo,
25^{2000} = (5^2)^{2000}.

Passo 3

Aplicando a regra da potência de potência, temos
(5^2)^{2000} = 5^{2\cdot 2000} = 5^{4000}.

Passo 4

Agora substituímos no produto inicial:
5^{3}\cdot25^{2000} = 5^{3}\cdot5^{4000}.
Como são potências de mesma base, somamos os expoentes:
5^{3+4000} = 5^{4003}.

Resposta

5^{3}\cdot25^{2000} = 5^{4003}.

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