OBM - Contando-se os alunos de uma classe de 4 em 4 sobram 2, e contando-se de 5 em 5 sobra 1. Sabendo-se que 15 alunos são meninas e que nesta classe o número de meninas é maior que o número de meninos, o número de meninos nesta classe é:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11

Passo 1

O enunciado pede o número de meninos numa turma de N alunos, sabendo que:
Nequiv2pmod4, Nequiv1pmod5,
que há 15 meninas e que o número de meninas é maior que o de meninos. O conteúdo aqui é resolver um sistema de congruências e aplicar desigualdade simples.

Passo 2

Da primeira congruência temos
Nequiv2pmod4 Longrightarrow N=4k+2 (para algum inteiro (k))

Passo 3

Substituindo na segunda condição:
4k+2equiv1pmod5 Longrightarrow 4kequiv-1equiv4pmod5 Longrightarrow kequiv1pmod5
Logo k=5m+1 e
N=4(5m+1)+2=20m+6

Passo 4

Como há 15 meninas e elas são mais que os meninos, temos
15 > N-15 Longrightarrow N<30
Substituindo N=20m+6<30 m=0 ou m=1. Se m=0 então N=6<15 (impossível porque já há 15 meninas), restando m=1 e
N=20cdot1+6=26

Passo 5

O número de meninos é
N-15=26-15=11

Resposta

11 (alternativa e).

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