OBM - Quantas vezes aparece o algarismo 9 no resultado da operação 10^100-2.003 ?

Passo 1

O enunciado pede para calcular o número obtido por
10^100 - 2,003
e, em seguida, contar quantas vezes o dígito 9 aparece no resultado (contando parte inteira e parte decimal). Vamos usar propriedades de subtração decimal e observar o padrão dos algarismos.

Passo 2

Primeiro subtraímos 2 de 10^100. Como
10^100 = 1underbrace00ldots0100 zeros
temos
10^100 - 2 = underbrace99ldots98100 dígitos, í
isto é, um número de 100 dígitos em que os primeiros 99 são 9 e o último é 8.

Passo 3

Agora subtraímos 0,003. Escrevendo
underbrace99ldots98100 dígitos,,000 - 0,003 í
vemos que a única alteração nos dígitos é no final:
8,000 - 0,003 = 7,997
Logo o resultado é
underbrace99ldots997100 dígitos inteiros,,997, í
onde a parte inteira tem os 99 primeiros dígitos iguais a 9 e o último dígito 7, e a parte decimal é 997.

Passo 4

Contagem de noves:
  • Na parte inteira de 100 dígitos, há 99 algarismos igual a 9.
  • Na parte decimal “997” aparecem mais 2 algarismos 9.

Resposta

Somando, o dígito 9 aparece 99 + 2 = 101 vezes.

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