(OBM-06) Quantos subconjuntos {a, b, c} de três elementos distintos dc {1,2,3, \ldots, 100 } são tais que b é a média aritmética de a e c(a<b<c) ?

Passo 1

Resumindo: queremos contar quantos subconjuntos \{a,b,c\}\subset\{1,2,\dots,100\} de três elementos distintos satisfazem a<b<c e
b=\frac{a+c}{2}.
O conteúdo aqui é combinatório, usando a condição de média aritmética.

Passo 2

A igualdade b=(a+c)/2 exige que (a+c) seja par, ou seja, a e c têm a mesma paridade (ambos pares ou ambos ímpares). Só nesses casos b será inteiro e estará estritamente entre a e c.

Passo 3

No conjunto \{1,2,\dots,100\} 50 números pares e 50 números ímpares. Para escolher (a,c) com a<c e mesma paridade:
  • pares: \displaystyle \binom{50}{2} escolhas;
  • ímpares: \displaystyle \binom{50}{2} escolhas.

Passo 4

Cada par (a,c) determina unicamente b=(a+c)/2 com a<b<c. Logo, o total de subconjuntos é
\binom{50}{2} + \binom{50}{2} = 1225 + 1225 = 2450.

Resposta

2450

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