Obtenha e esboce o caminho, juntamente com sua orientação, dado por:
z(t)=4+i+3 e^{i t}(0 \leqq t \leqq 2 \pi)

Passo 1

O enunciado pede para obter e esboçar o caminho definido pela função
z(t)=4+i+3e^{it},\quad 0\le t\le2\pi.
Este problema envolve curvas paramétricas no plano complexo e sua interpretação geométrica.

Passo 2

Usamos a identidade de Euler
e^{it}=\cos t + i\sin t,
que descreve o círculo unitário no plano à medida que t varia de 0 a 2\pi.
Substituindo, obtemos
z(t)=4+i+3(\cos t+i\sin t)
que é a parametrização de um círculo de centro
4+i\quad(\text{ou seja, ponto }(4,1))
e raio
3.

Passo 3

Como t cresce de 0 a 2\pi, o par (\cos t,\sin t) percorre o círculo unitário no sentido anti-horário. Assim, o mesmo sentido aplica-se ao círculo de centro 4+i.

Passo 4

Para esboçar: no plano complexo, marque o ponto (4,1), trace ao redor dele um círculo de raio 3 e desenhe setas ao longo da circunferência indicando o movimento no sentido anti-horário.

Resposta

O caminho é o círculo de centro 4+i e raio 3, percorrido no sentido anti-horário.

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